上、下确界

实数子集 而言, 其上确界是指其最小上界, 而下确界是指其最大下界. 此两者分别记为例如, 若 是有限区间, 不论是开、闭还是半开半闭区间, 其上下确界都分别是其两个端点. 但一般而言, 的子集不一定有上、下界, 所以也不一定有上、下确界.

这一概念也可以推广到一般的偏序集.

1定义

定义 1.1.偏序集, 是其子集.

称元素 上界, 若对任意 , 有 .

称元素 下界, 若对任意 , 有 .

称元素 上确界, 若 的最小上界, 即对 的任意上界 , 有 .

称元素 下确界, 若 的最大下界, 即对 的任意下界 , 有 .

子集的上下界不一定存在, 例如 就没有上下界, 更没有上下确界.

但我们也许会希望, 若一个子集有上界, 则应该有上确界. 这在实数集 中是成立的, 但一般并不成立. 满足这一性质的偏序集称为有界完备偏序集. 例如, 集合 中有上下界, 但没有上下确界, 故 不是有界完备的. 该集合在 中有上下确界 .

2性质

实数的上下确界

命题 2.1. 实数有界完备的. 也就是说, 对任意子集 , 若 有上界, 则其有上确界; 若 有下界, 则其有下确界.

3相关概念

上、下极限

本质上、下确界

术语翻译

上确界英文 supremum德文 Supremum (n)法文 supremum (m)

下确界英文 infimum德文 Infimum (n)法文 infimum (m)