导数

在微积分中, 导数是指一个函数的变化率. 具体地说, 对函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 而言, 当自变量 $x\in \mathbb{R}$ 发生微小的变化时, 函数的值 $f(x)\in \mathbb{R}$ 也相应地变化, $f(x)$ 的变化量与 $x$ 的变化量之比称为 $f$ 在 $x$ 处的导数, 通常记为 $f^{\prime }(x)$. 导数也等于函数图像的切线的斜率.

不是所有函数都有导数; 有导数的函数称为可导的.

导数的概念和微分密切相关. 微积分基本定理说明, 求导数 (即微分) 和求积分互为逆运算.

1定义

定义 1.1 (导数). 设 $f:U\to \mathbb{R}$ 是定义在集合 $U\subset \mathbb{R}$ 上的函数, 并且 $U$ 包含 $x_0\in \mathbb{R}$ 的一个邻域. 如果极限$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\epsilon )-f(x_0)}{\epsilon }$$存在, 就说 $f^{\prime }(x_0)$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的导数.

导数也常常记为$$\frac{df}{dx}(x_0),\frac{d}{dx}f(x_0),\dot{f}(x_0).$$

注 1.2. 导数 (定义 1.1) 可以看成用一次函数来逼近函数 $f$. 具体地说, 我们有$$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(x-x_0)(x\to x_0),$$其中 $A=f^{\prime }(x_0)$, $o$ 是小 $o$ 记号.

定义 1.3 ($n$ 阶导数). 设 $f:U\to \mathbb{R}$ 是一个函数, 并且 $f$ 有导数 $f^{\prime }:U\to \mathbb{R}$ (定义 1.1). 函数 $f^{\prime }$ 的导数 (如果存在) 称为 $f$ 的二阶导数, 记为 $f^{\prime \prime }$. 以此类推, 我们可以定义 $f$ 的 $\mathbf{n}$ 阶导数, 通常记为 $f^{(n)}$.

我们常常约定 $f$ 的 $0$ 阶导数是 $f^{(0)}=f$.

$n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_0)$ 也常常记为$$\frac{d^{n}f}{d{x}^n}(x_0),(\frac{d}{dx}{)}^{n}f(x_0).$$

注 1.4. 求函数 $f$ 的 $n$ 阶导数 (定义 1.3) 可以看成用 $n$ 次多项式来逼近函数 $f$. 具体地说, 如果 $f$ 有直到 $n$ 阶导数, 那么由 Taylor 展开, 我们有$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)(x\to x_0),$$其中 $o$ 是小 $o$ 记号. 并且, 这个条件也唯一确定了每个值 $f^{(k)}(x_0)$.

2性质

导数与连续性

(...)

导数与单调性

(...)

导数与凹凸性

(...)

求导法则

(...)

3高维函数的导数

偏导数

(...)

方向导数

(...)

4相关概念

•	微分
•	积分
•	Taylor 展开

术语翻译

导数 • 英文 derivative • 德文 Ableitung (f) • 法文 dérivée (f)

$n$ 阶导数 • 英文 $n$-th derivative