中值定理

注意区分本文与 “介值定理”.

中值定理是微积分中的一系列定理, 说明函数在一段区间上的平均变化率一定等于在某点的瞬间变化率.

1陈述

以下几个定理都被称为中值定理, 按照从特殊到一般的顺序来排列.

Rolle 定理

定理 1.1 (Rolle). 设 $a<b$ 是实数, 连续函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, 在开区间 $]a,b[$ 上可导, 且满足 $f(a)=f(b)$. 则存在 $\xi \in ]a,b[$, 使得$$f^{\prime }(\xi )=0.$$

Lagrange 中值定理

定理 1.2 (Lagrange 中值定理). 设 $a<b$ 是实数, 连续函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, 在开区间 $]a,b[$ 上可导. 则存在 $\xi \in ]a,b[$, 使得$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Cauchy 中值定理

定理 1.3 (Cauchy 中值定理). 设 $a<b$ 是实数, 连续函数 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$, 在开区间 $]a,b[$ 上可导. 则存在 $\xi \in ]a,b[$, 使得$$f^{\prime }(\xi )(g(b)-g(a))=g^{\prime }(\xi )(f(b)-f(a)).$$特别地, 如果函数 $f^{\prime }(x)$ 与 $g^{\prime }(x)$ 不同时为零, 且 $g(a)\ne g(b)$, 那么上述等式可以写成$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

2相关概念

•	有限增量定理
•	L’Hôpital 法则
•	Taylor 定理

术语翻译

中值定理 • 英文 mean value theorem • 德文 Mittelwertsatz (m) • 法文 théorème de la moyenne