连续映射

连续映射 (或连续函数) 是一类映射, 当其自变量小幅变化时, 其取值也只是小幅变化, 而不会跳跃.

数学分析中, 连续映射常常用 - 语言描述, 即对任意给定 , 存在 , 使得自变量的变动不超过 时, 映射值的变动不超过 .

对于拓扑空间之间的映射而言, 连续映射恰好是那些使开集原像仍为开集的映射.

1定义

通过 - 语言

定义 1.1 (连续映射).度量空间, 设 为一点. 集合映射 称为在 连续, 若对任意 , 存在 , 使得对任意 , 当 时, 总有 .

上述映射 称为连续映射, 若它在 的每个点处都连续.

定义 1.2 (连续函数). 当上述集合 取为某种 “数”, 尤其是带有通常度量的实数复数时, 此映射称为连续函数.

对拓扑空间

定义 1.3 (连续映射).拓扑空间, 设 为一点. 集合映射 称为在 连续, 若对 的任意邻域 , 其原像 的邻域.

上述映射 称为连续映射, 若 的每个开集的原像都是 的开集. 这等价于它在 的每个点处都连续.

定义 1.4 (连续函数). 当上述集合 取为某种 “数”, 尤其是带有通常拓扑的实数复数时, 此映射称为连续函数.

2性质

命题 2.1. 对拓扑空间映射 , 处连续当且仅当对任何 , 都有 . 若 第一可数, 则网也可以改为点列.

3相关概念

一致连续映射

等度连续映射族

光滑映射解析映射全纯映射

术语翻译

连续映射英文 continuous map德文 stetige Abbildung法文 application continue拉丁文 applicatio continua古希腊文 συνεχὴς ἀπεικονισμός日文 連続写像

连续函数英文 continuous function德文 stetige Funktion法文 fonction continue拉丁文 functio continua古希腊文 συνεχὴς συνάρτησις日文 連続関数

连续 (形容词)英文 continuous德文 stetig法文 continu拉丁文 continuus古希腊文 συνεχής日文 連続

连续性英文 continuity德文 Stetigkeit (f)法文 continuité (f)拉丁文 continuitas (f)古希腊文 συνέχεια (f)