光滑映射

微分几何中, 光滑映射是指可以求任意多阶偏导数映射, 这里的映射可以是 Euclid 空间之间的映射, 也可以是光滑流形间的映射. 流形间的光滑映射是微分几何中最基本的概念之一.

1定义

对 Euclid 空间的映射

定义 1.1.自然数, 开集, 映射. 称 光滑映射, 如果满足以下条件:

对任何 , 及任何 (可以重复), 都存在偏导数

对流形的映射

光滑流形间的光滑映射也就是局部上是 Euclid 空间之间的光滑映射 (定义 1.1) 的映射.

定义 1.2. 分别为 光滑流形, 连续映射.

光滑映射, 如果满足以下条件:

对任意局部坐标 , 其中 开集, 复合映射都是光滑映射 (定义 1.1), 这里 是开集.

另外, 对某个 , 称 在点 光滑, 若满足以下条件:

存在 的开邻域 , 使得 是上述意义下的光滑映射.

2例子

所有线性映射 都是光滑映射. 更一般地, 所有多项式映射 也都是光滑映射.

3性质

切映射

为光滑流形, 为光滑映射. 则对每个 , 映射 都能诱导切空间之间的线性映射称为 切映射. 大致来说, 这是 的最佳线性逼近, 即最接近 的线性映射.

与环化空间的联系

光滑流形间的光滑映射 (定义 1.2) 也可以通过环化空间的概念来描述.

定义 3.1.光滑流形. 定义 上的交换环 如下:

对开集 , 交换环 就是所有光滑映射 构成的环.

上的光滑函数层. 则 可视为局部环化空间.

命题 3.2. 为光滑流形. 则 的光滑映射一一对应于局部环化空间 的态射. 光滑映射 对应于态射 , 这里 以明显的方式定义.

简言之, 光滑流形范畴可以全忠实地嵌入局部环化空间的范畴.

4相关概念

术语翻译

光滑映射英文 smooth map法文 application glissée

微分同胚英文 diffeomorphism法文 difféomorphisme