局部环化空间

在几何学中, 局部环化空间是一类环化空间, 指其茎为局部环的环化空间.

直观而言, 正如环化空间是 “带有几何结构的空间”, 局部环化空间也是如此. 并且, 在局部环化空间中, 可以谈论 “函数在一点处的取值”, 因为局部环具有剩余域, 该域就是该点处函数的取值范围.

例如, 光滑流形可以视为局部环化空间, 其每个点的剩余域都为 $\mathbb{R}$, 也就是说光滑函数取值于 $\mathbb{R}$. 又例如, 代数闭域 $k$ 上代数簇作为局部环化空间, 其闭点的剩余域为 $k$, 即正则函数取值于 $k$.

1定义

定义 1.1 (局部环化空间). 称环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 为局部环化空间, 若满足以下条件:

•	对任何 $x\in X$, 茎 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 是局部环.

定义 1.2 (局部环化空间态射). 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 与 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 为局部环化空间. 则其间的局部环化空间态射是指环化空间态射 $(f,f^{♯})$, 满足以下条件:

•

对任何 $x\in X$, 环层态射 $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$ 诱导的茎的映射 $(f^{♯}{)}_x:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 是局部环间的局部同态, 即满足$$(f^{♯}{)}_x({\mathfrak{m}}_{Y,f(x)})\subseteq {\mathfrak{m}}_{X,x},$$其中 ${\mathfrak{m}}_{Y,f(x)}\subseteq {\mathcal{O}}_{Y,f(x)}$ 和 ${\mathfrak{m}}_{X,x}\subseteq {\mathcal{O}}_{X,x}$ 为各自的极大理想.

这里, 要求 $f^{♯}$ 诱导局部同态, 就能保证诱导剩余域间的同态. 也就是说, $Y$ 上的函数能够拉回到 $X$ 上, 且拉回之后函数在 $x\in X$ 的取值由拉回之前的函数在 $f(x)\in Y$ 的取值确定.

2相关概念

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局部环化意象

术语翻译

局部环化空间 • 英文 locally ringed space