可逆层

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

可逆层是线丛在环化空间和环化意象中的类比, 是模层范畴的可逆对象. 概形上的可逆层是代数几何的重要研究对象之一.

1定义

定义 1.1. 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是环化空间或环化意象, $\mathcal{L}$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模层. 称 $\mathcal{L}$ 为 $\mathbf{X}$ 上可逆层, 或称可逆 ${\mathcal{O}}_{\mathbf{X}}$-模层, 指的是存在 ${\mathcal{O}}_X$-模层 $\mathcal{M}$ 使得 $\mathcal{L}{\otimes }_{{\mathcal{O}}_X}\mathcal{M}\cong {\mathcal{O}}_X$. 称此 $\mathcal{M}$ 为 $\mathcal{L}$ 的逆, 记作 ${\mathcal{L}}^{-1}$.

注 1.2. 容易发现可逆层同构类沿张量积构成交换群. 这就是 Picard 群.

2性质

可逆层的逆可用内 $\mathrm{Hom}$ 函子写出.

命题 2.1. 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是环化空间或环化意象, $\mathcal{L}$ 是可逆 ${\mathcal{O}}_X$-模层, 则 ${\mathcal{L}}^{-1}={\underline{\mathrm{Hom}}}_{{\mathcal{O}}_X}(\mathcal{L},{\mathcal{O}}_X)$.

证明. 注意 $\mathcal{L}\otimes {\mathcal{L}}^{-1}\cong {\mathcal{O}}_X$ 给出同态 ${\mathcal{L}}^{-1}\to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{L},{\mathcal{O}}_X)$; 又注意 $\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{L},{\mathcal{O}}_X)\to \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{L}\otimes {\mathcal{L}}^{-1},{\mathcal{O}}_X\otimes {\mathcal{L}}^{-1})\cong \underline{\mathrm{Hom}}({\mathcal{O}}_X,{\mathcal{L}}^{-1})\cong {\mathcal{L}}^{-1}$ 是反方向的同态; 不难验证它俩互逆. 事实上这是有内 $\mathrm{Hom}$ 函子的对称幺半范畴中可逆对象的一般道理.

$\square$

推论 2.2. $X$ 上局部同构于 ${\mathcal{O}}_X$ 的模层是可逆层.

证明. 设 $\mathcal{L}$ 是这样一个模层. 考虑自然同态 $\mathcal{L}\otimes \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{L},{\mathcal{O}}_X)\to {\mathcal{O}}_X$. 由 $\mathcal{L}$ 局部同构于 ${\mathcal{O}}_X$, 张量积和 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 都是局部的, 知该同态局部上是同构, 所以就是同构. 所以 $\mathcal{L}$ 是可逆层.

$\square$

以上推论的逆命题一般不成立. 比如考虑 $X$ 为单点的情形, 此时 ${\mathcal{O}}_X$ 相当于一个环, 局部同构就是同构. 环的可逆模自然未必同构于环本身, 环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 的理想 $(2,1+\sqrt{-5})$ 就是一例. 不过它对局部环化空间成立.

定理 2.3. 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是局部环化空间或局部环化意象, $\mathcal{L}$ 是可逆 ${\mathcal{O}}_X$-模层, 则 $\mathcal{L}$ 局部同构于 ${\mathcal{O}}_X$.

证明. 观察同构 $\mathcal{L}\otimes {\mathcal{L}}^{-1}\cong {\mathcal{O}}_X$. 由模层张量积的定义, $X$ 有覆盖 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, 满足对每个 $\alpha \in \mathrm{A}$, 存在元素 ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_n\in \mathcal{L}(U_{\alpha })$, $m_1,\dots ,m_n\in {\mathcal{L}}^{-1}(U_{\alpha })$, 使得在上述同构下 ${\sum }_{i=1}^n{\ell }_i\otimes m_i=1$. 于是用 ${\mathcal{O}}_X$ 的局部性, 加细 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, 可设其中某个 ${\ell }_i\otimes m_i$ 属于 $\mathcal{O}(U_{\alpha }{)}^{\times }$. 再作数乘可设覆盖 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ 满足对每个 $\alpha \in \mathrm{A}$, 存在元素 ${\ell }_{\alpha }\in \mathcal{L}(U_{\alpha })$, $m_{\alpha }\in {\mathcal{L}}^{-1}(U_{\alpha })$, 使得 ${\ell }_{\alpha }\otimes m_{\alpha }=1$. 这样 ${\ell }_{\alpha }$ 和 $m_{\alpha }$ 就给出 ${\mathcal{O}}_{U_{\alpha }}$ 和 $\mathcal{L}{|}_{U_{\alpha }}$ 之间的互逆同态, 故 $\mathcal{L}$ 局部同构于 ${\mathcal{O}}_X$.

$\square$

注 2.4. 以上证明其实就是把局部环 $A$ 上可逆模都同构于 $A$ 这件事的证明在意象的内生逻辑中写出.

命题 2.5. 可逆层的拉回仍是可逆层. 具体地说, 如 $f:X\to Y$ 是环化空间或环化意象的态射, $\mathcal{L}$ 是可逆 ${\mathcal{O}}_Y$-模, 则 $f^{\ast }\mathcal{L}=f^{-1}\mathcal{L}{\otimes }_{f^{-1}{\mathcal{O}}_Y}{\mathcal{O}}_X$ 是可逆 ${\mathcal{O}}_X$-模, 其逆为 $f^{\ast }({\mathcal{L}}^{-1})$.

证明. 这是因为拉回保持张量积.

$\square$

3例子

•	设 $X$ 是拓扑空间, $p:L\to X$ 是拓扑线丛. 则截面层$$\mathcal{L}(U)=\{s:U\to p^{-1}(U)\mid p\circ s=\mathrm{id}\}$$是可逆 ${\mathbb{R}}_X$-模层, 其中 ${\mathbb{R}}_X$ 指 $X$ 上实值连续函数层.
•	设 $X$ 是光滑流形, $p:L\to X$ 是光滑线丛. 则截面层$$\mathcal{L}(U)=\{s:U\to p^{-1}(U)\mid p\circ s=\mathrm{id}\}$$是可逆 $C_X^{\infty }$-模层, 其中 $C_X^{\infty }$ 指 $X$ 上实值光滑函数层.
•	秩 $1$ 局部系是常环层的可逆模层.
•	设 $A$ 是环, $M$ 是其可逆模. 以 $\tilde{M}$ 记 $M$ 对应的 $\mathrm{Spec}A$ 上拟凝聚层, 则 $\tilde{M}$ 是可逆层. 由于 $\mathrm{Spec}A$ 上拟凝聚层范畴与 $A$-模范畴有保持张量积的范畴等价, 而可逆层显然拟凝聚, 所以 $\mathrm{Spec}A$ 上可逆层范畴与可逆 $A$-模范畴等价.

4相关概念

•	可逆对象
•	线丛
•	代数向量丛
•	Cartier 除子
•	Picard 群

术语翻译

可逆层 • 英文 invertible sheaf • 德文 umkehrbare Garbe • 法文 faisceau inversible • 拉丁文 fascis inversibilis