位象

位象是无点拓扑里的基本概念, 可以看作是拓扑空间的替代物, 它去掉了拓扑空间中的点集, 只考虑开集与其间的包含关系.

1定义

定义 1.1. 位象是存在所有并、有限交, 且所有的交都满足分配律的偏序集, 即$$x\wedge \underset{\alpha \in I}{\bigvee }{y}_{\alpha }=\underset{\alpha \in I}{\bigvee }(x\wedge y_{\alpha })$$

该偏序集的元素对应拓扑空间中的开集.

将拓扑空间看作位象的时候, 往往称之为拓扑位象. 将位象 $X$ 看作偏序集时, 记作 $O(X)$.

定义 1.2. 位象间的映射 $f:A\to B$ 是将它们看作偏序集后的反向单调函数 $O(B)\to O(A)$, 保持有限交和无限并.

拓扑位象之间的映射和连续函数的定义是一致的.

2性质

位象类比为拓扑空间时, 若将开集的包含关系视为态射, 可以构成一个范畴, 此时每个位象对应一个范畴. 而位象之间的连续映射也可以构成范畴, 记作 $\text{Loc}$.

引理 2.1. 任一位象 $L$ 看作范畴时, 范畴里的积对应了元素的交, 且函子 $(-\wedge v):L\to L$ 保持余极限.

定理 2.2. 位象本身作为范畴时是积闭范畴.

证明. 由 2.1 可知仅需证明函子 $(-\wedge v)$ 有右伴随, 可以通过伴随函子定理得到. 具体来说, 构造$$(u\Rightarrow v)=\underset{x\wedge u\le v}{\bigvee }x.$$此时 $x\wedge u\le v$ 即可推出 $x\le (u\Rightarrow v)$. 而另一方面, 如果 $y\le (u\Rightarrow v)$, 那么由分配律, $$\begin{array}{rl}y\wedge u& \le (u\Rightarrow v)\wedge u\\ & =\left[\underset{x\wedge u\le v}{\bigvee }x\right]\wedge u\\ & =\underset{x\wedge u\le v}{\bigvee }x\wedge u\\ & \le \underset{x\wedge u\le v}{\bigvee }v\\ & =v.\end{array}$$因此我们得到等价$$x\wedge u\le v⟺x\le (u\Rightarrow v).$$故指数对象总是存在.

$\square$

与拓扑空间的联系

将拓扑空间转化为对应的位象的操作显然构成函子, 记作 $\Omega :\text{Top}\to \text{Loc}$. 该函子存在一右伴随, 构造如下:

(...)

层范畴

位象上的层范畴是意象.

引理 2.3. 令 $0\in L$ 为最小元素, $F:L\to \mathsf{Set}$ 为层, 则 $F(0)$ 为单点集.

证明.

证明. $0$ 被空集覆盖, 因此根据层公理, 有等子图表$$F(0)\to 单点集\rightrightarrows 单点集$$不难得知 $F(0)$ 也是单点集.

$\square$

引理 2.4. $L$ 上的可表函子都是层.

证明.

证明. 对于 $u\in L$, 对应的 Yoneda 函子 $L(-,u)$ 对于 $v\le u$ 给出单点集, 对于其它元素则给出空集, 因此层公理都是平凡的. 可表函子自然同构于 Yoneda 函子, 因此也满足这样的条件.

$\square$

引理 2.5. $L$ 上的层范畴有子对象分类子.

证明. 参见子对象分类子中的构造.

$\square$

(..)

3相关概念

•	景
•	意象

术语翻译

位象 • 英文 locale