赋予几何对象以代数结构. 拓扑空间 上的层给每个开集 赋予一个集合. 例如, 空间上的函数层给开集 赋予 上所有函数的集合. 又例如, 向量丛也可以看成层, 它给开集 赋予 上该向量丛所有截面的集合.

具体地说, 层是满足 “局部决定整体” 性质的预层: 对任一开集 的任一开覆盖, 的每个截面都能由开覆盖中的小开集上截面拼成; 在每个小开集上选一截面, 若它们在重叠处吻合, 则能拼出 上的截面. 换言之, 的截面由小开集上的截面所决定. 这种性质也被称为层公理.

层也可以定义在上. 景上的集合层可以看作景中的广义对象, 即局部看似景中对象, 而实际不一定在景中的对象. 这些层全体构成一意象.

1定义

拓扑空间上的层

定义 1.1 (层).拓扑空间, 范畴, 设 上的取值于 预层. 满足如下条件的预层 被称为一个: 对任意开集 , 以及 的任意开覆盖 , 图表都是等子图表, 其中

左边的箭头将 限制到每个 .

右边上方的箭头将每个 限制到每个 .

右边下方的箭头将每个 限制到每个 .

此图表称为层公理.

注 1.2.集合范畴 , 或是由带有额外结构的集合构成的范畴, 例如 , 等, 那么定义 1.1 中的等子图表等价于下列条件:

是开集, 的开覆盖.

(粘接性质) 若对每个 给定了截面 , 使得对任意 , 都有 , 那么存在 , 使得对任意 , 都有 .

(唯一性) 若两个截面 满足对任意 都有 , 则 .

定义 1.3. 当范畴 取为某一类数学对象构成的范畴时, 此层由此类数学对象命名. 例如:

Abel 群的范畴 时, 此层被称为 Abel 层,

取为交换环的范畴 时, 此层被称为环层.

如此等等.

定义 1.4. 上所有取值在 上的层构成一范畴, 记作 , 当 集合范畴时简记为 , 称为 意象.

景上的层

拓扑空间的推广, 在景上同样可以定义层. 我们叙述两个版本的定义, 第一个版本适用于通过覆盖而定义的景, 第二个版本适用于一般的景.

定义 1.5. 是由覆盖定义的, 范畴, 设 上的取值于 预层. 满足如下条件的预层 被称为: 对任意对象 , 以及 的任意覆盖 , 图表都是等子图表, 其中

左边的箭头将 限制到每个 .

右边上方的箭头由投影 诱导.

右边下方的箭头由投影 诱导.

此图表称为层公理.

定义 1.6. 对景 和范畴 , 称 上预层 , 指对任意 及其覆盖筛 , 都有上式右边的指标范畴实际上就是视为满子范畴.

以上定义中默认提及的极限都在 中存在. 熟悉筛的读者不难发现, 覆盖定义的层公理实际上就是一般定义的层公理的展开.

另外, 当景取为拓扑空间 上所有开集构成的景 时, 上述定义即化为拓扑空间上层的定义.

注 1.7. 上述注 1.2 中给出的等价叙述同样适用于由覆盖定义的. 只需将开覆盖换为中覆盖, 交集换为纤维积即可.

定义 1.8. 上的两个取值在 上的层, 其间同态定义为预层间的同态, 也即函子间的自然变换.

定义 1.9. 上的所有取值在 上的层以及它们之间的同态构成一范畴, 称为 上的 层范畴. 记作 , 当 集合范畴时简记为 , 称为 意象.

2性质

命题 2.1 (函子性). 对拓扑空间或景之间的态射 , 存在一对伴随函子 分别称为层的拉回层前推层, 且 正合的, 左正合的.

换言之, 拓扑空间 (或景) 间的态射诱导了相应的意象间的态射.

证明. 参见前推层, 拉回层.

3例子

局部截面层

光滑函数层

全纯函数层

亚纯函数层

正则函数层

微分形式层

4相关概念

术语翻译

英文 sheaf德文 Garbe (f)法文 faisceau (m)拉丁文 fascis (m)