凝聚层

在代数几何与复几何中, 凝聚层是向量丛的推广, 以使之构成 Abel 范畴. 直观地说, 凝聚层类似于向量丛, 但允许其纤维的维数变动. 例如, 一点处的摩天楼层是凝聚层, 其纤维只在一点非零.

1定义

对环化空间

凝聚层的概念可以对一般的环化空间定义. 在代数几何中, 我们主要考虑概形; 在复几何中, 主要考虑复流形或复解析空间.

定义 1.1 (凝聚层). 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是环化空间或环化意象, $\mathcal{F}$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模. 称 $\mathcal{F}$ 为凝聚层, 如果以下条件成立:

•	$\mathcal{F}$ 有限型: 存在 $X$ 的一组开覆盖 $\mathcal{U}$, 使得对开集 $U\subset \mathcal{U}$ 存在自然数 $n$ 与 ${\mathcal{O}}_U$-模的满射$${\mathcal{O}}_U^{\oplus n}\to \mathcal{F}{|}_U,$$其中 ${\mathcal{O}}_U={\mathcal{O}}_X{|}_U$.

•	对任意开集 $U\subset X$, 任意自然数 $n$, 和任意 ${\mathcal{O}}_U$-模的映射$$f:{\mathcal{O}}_U^{\oplus n}\to \mathcal{F}{|}_U,$$其核 $\ker f\subset {\mathcal{O}}_U$ 是有限型 ${\mathcal{O}}_U$-模.

对局部 Noether 概形

对局部 Noether 概形而言, 下述定理可以简化凝聚层的定义.

定理 1.2. 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 是局部 Noether 概形, $\mathcal{F}$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模. 则以下等价:

•	$\mathcal{F}$ 是凝聚层 (定义 1.1).

•	$\mathcal{F}$ 是有限型拟凝聚层: 在任意仿射开集 $\mathrm{Spec}A\simeq U\subset X$ 上, 有 $\mathcal{F}{|}_U\simeq \tilde{M}$, 其中 $M$ 是有限生成 $A$-模.

•	对任意 $x\in X$, 存在含 $x$ 的仿射开集 $\mathrm{Spec}A\simeq U\subset X$, 使得 $\mathcal{F}{|}_U\simeq \tilde{M}$, 其中 $M$ 是有限生成 $A$-模.

•	$\mathcal{F}$ 是有限表现 ${\mathcal{O}}_X$-模: 对任意 $x\in X$, 存在含 $x$ 的开集 $U\subset X$ 和自然数 $m,n$, 使得有 ${\mathcal{O}}_U$-模的正合列$${\mathcal{O}}_U^{\oplus m}\to {\mathcal{O}}_U^{\oplus n}\to \mathcal{F}{|}_U\to 0.$$

2性质

凝聚层构成 Abel 范畴, 且有较好的函子性.

命题 2.1 (凝聚层范畴). 在 Abel 层范畴 $\mathsf{Ab}(X)$ 中, 凝聚层对取核、余核、扩张封闭, 从而构成 Abel 范畴, 称为凝聚层范畴, 记作 $\mathsf{Coh}(X)$.

命题 2.2 (拉回层). 设有环化空间 (或环化意象) 间的态射 $f:(X,{\mathcal{O}}_X)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$, 则凝聚层 $\mathcal{F}\in \mathsf{Coh}(Y)$ 沿 $f$ 的拉回层 $f^{\ast }\mathcal{F}$ 也是凝聚层.

命题 2.3 (前推层). 设有概形间的紧合态射 $f:X\to Y$, 则凝聚层 $\mathcal{F}\in \mathsf{Coh}(X)$ 沿 $f$ 的前推层也是凝聚层. 事实上它导出前推层的每一阶上同调都是凝聚层.

此外作为拟凝聚层, 凝聚层当然满足 Henri Cartan 的定理 A 和定理 B.

3例子

•	代数向量丛, 即局部自由层 ∘ 代数线丛, 即可逆层
•	理想层
•	摩天楼层

4相关概念

•	拟凝聚层
•	可构造层
•	凝聚层导出范畴
•	Serre 对偶、Grothendieck 对偶
•	同调镜像对称

术语翻译

凝聚层 • 英文 coherent sheaf • 德文 kohärente Garbe • 法文 faisceau cohérent • 拉丁文 fascis cohaerens