Abel 范畴

Abel 范畴同调代数中的一类常用的范畴, 包括上的范畴 (特别地, Abel 群的范畴), 或更一般地, 模层范畴. 同调代数和链复形的理论常常需要建立在 Abel 范畴上.

1定义

定义 1.1 (Abel 范畴).加性范畴 Abel 范畴, 指它满足公理

(AB1) 的每个态射都具有余核.

(AB2) 中的每个单射都是正规态射 (即, 等于某个态射的); 中的每个满射都是余正规态射 (即, 等于某个态射的余核).

注 1.2. (AB2) 有以下几种等价表述:

中的每个单射都是它的余核的核; 中的每个满射都是它的核的余核.

中任意态射 , 它诱导的其余像到其的映射是同构, 从而二者都能看作 的像.

有时还要对 Abel 范畴 提更强的条件. 下面这些越来越强的公理由 Grothendieck 在其 Tohoku 文中引入.

定义 1.3 (Grothendieck 公理).

(AB3) 余完备.

(AB4) 余完备, 且无穷直和正合.

(AB5) 余完备, 且滤余极限正合.

(AB6) 余完备, 且对任意 及其一些子对象 , 以及对每个 , 的一滤族的子对象 , 下式两边存在且相等:

满足 (AB*) 意思是 满足 (AB).

Grothendieck Abel 范畴指的是满足 (AB5) 且有生成元的 Abel 范畴.

也要对子范畴提条件.

定义 1.4 (子范畴). Abel 范畴

Abel 子范畴指的是其加性子范畴 , 满足 中取核与余核的操作均封闭. 显然, 这等价于 也是 Abel 范畴且含入函子正合.

Serre 子范畴指的是其满 Abel 子范畴 , 满足对取子对象、商对象、扩张封闭, 即对 短正合列. 如果仅有 , 则称 弱 Serre 子范畴.

2例子

Abel 群的范畴 是 Abel 范畴; 其中有限生成 Abel 群构成的满子范畴也是 Abel 范畴; 其中有限 Abel 群构成的满子范畴也是 Abel 范畴.

, 则 -左模构成的范畴 -右模构成的范畴 都是 Abel 范畴. Freyd–Mitchell 嵌入定理说明, 任何小 Abel 范畴都等价于某个 -模范畴的满子范畴.

如果 左 Noether 环, 则所有有限生成 -左模构成的范畴是 Abel 范畴.

赋环空间, 则所有 -左模构成的范畴 是 Abel 范畴. 特别地, 上所有 Abel 层构成 Abel 范畴.

是 Abel 范畴, 则 上所有链复形构成的范畴 是 Abel 范畴.

拓扑空间, 则 上的 (实或复) 向量丛不构成 Abel 范畴, 但构成正合范畴.

3相关概念

Freyd–Mitchell 嵌入定理

正合列

正合函子

链复形

正合范畴

三角范畴

术语翻译

Abel 范畴英文 abelian category德文 abelsche Kategorie (f)法文 catégorie abélienne (f)