生成元

生成元是多种代数结构共有的概念. 大体上, 如代数结构中一些元素能通过运算得到所有其它元素, 就称这些元素为生成元.

1定义
2例子
3性质
4相关概念

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是一个代数结构, 例如群、环、域、模. 称其中一族元素 ${x_{i}}_{i \in I}$ 是其生成元, 指的是 $X$ 中包含 ${x_{i}}_{i \in I}$ 的子结构只有 $X$ 本身. 此时也称 ${x_{i}}_{i \in I}$ 生成 $X$ .

上述定义可用范畴论严格写出:

定义 1.2. 设 $C$ 是范畴, 带有保持单态射的函子 $U : C \to Set$ . 设 $X \in C$ , $S \subseteq U X$ . 称 $S$ 是 $X$ 的一族生成元, 或称其生成 $X$ , 指的是对 $X$ 的子对象 $Y$ , 只要 $U Y \supseteq S$ , 就有 $Y = X$ .

注 1.3. 取 $C$ 为特定代数结构 (例如群、环、域、模) 的范畴, $U$ 为其忘却函子, 定义 1.2 便化为定义 1.1.

可以像线性代数中定义基一样对生成元提极小条件, 但一般情况下它并没有像基一样好的性质.

定义 1.4. 记号沿用定义 1.2. 称 $S$ 为 $X$ 的极小生成元组, 意思是 $S$ 生成 $X$ , 但其任一真子集都不生成 $X$ .

2例子

•	群 $G$ 的子集 $S$ 生成 $G$ 当且仅当 $G$ 的每个元素都是 $S$ 中元素及其逆元的有限乘积.
•	环 $R$ 的子集 $S$ 生成 $R$ 当且仅当 $R$ 的每个元素都是 $S$ 中元素的有限乘积的 $Z$ -线性组合.
•	域 $F$ 的子集 $S$ 生成 $F$ 当且仅当 $F$ 的每个元素都是 $S$ 中元素经有限步加减乘除所得.
•	设 $R$ 是环. 则 $R$ -模 $M$ 的子集 $S$ 生成 $M$ 当且仅当 $M$ 的每个元素都是 $S$ 中元素的 $R$ -线性组合.
•	一般地, 空集生成始对象, 因其子对象只有自身. 所以平凡群、整数环、零模都在各自的范畴中被空集生成.

3性质

本节沿用定义 1.2 的记号和假设.

命题 3.1. 设 $C$ 中子对象有任意交且被 $U$ 保持. 则 $X$ 有唯一的子对象 $⟨ S ⟩$ , 满足 $S \subseteq U ⟨ S ⟩$ 且 $S$ 生成 $⟨ S ⟩$ . 此时称 $⟨ S ⟩$ 为 $S$ 在 $X$ 中生成的子对象.

证明. 用条件取

⟨ S ⟩ = ⋂_{Y \subseteq X, S \subseteq U Y} Y

即可. 唯一性也显然.

$□$

以下定理是线性空间维数不变性在这里的弱版本.

定理 3.2. 设 $C$ 满足命题 3.1 的条件, 再设 $C$ 中子对象有任意并, 此时 $⟨ - ⟩$ 操作保持任意并. 设正则基数 $κ$ 满足: 对 $X \in C$ , $T \subseteq U X$ , $x \in U X$ , 如 $x \in U ⟨ T ⟩$ , 则存在 $T_{x} \subseteq T$ , $∣ T_{x} ∣ < κ$ , 使得 $x \in U ⟨ T_{x} ⟩$ . 则对 $X \in C$ 及其极小生成元组 $S, T \subseteq U X$ :

1.	$∣ S ∣ < κ$ 当且仅当 $∣ T ∣ < κ$ .
2.	如 $∣ S ∣ \geq κ$ , 则 $∣ S ∣ = ∣ T ∣$ .

证明. 对每个 $s \in S$ 用条件取出 $T_{s} \subseteq T$ , $∣ T_{s} ∣ < κ$ , $s \in U ⟨ T_{s} ⟩$ . 令 $T^{'} = ⋃_{s \in S} T_{s}$ , 则 $⟨ T^{'} ⟩ \supseteq ⟨ S ⟩ = X$ . 于是由 $T$ 的极小性, $T^{'} = T$ . 此时:

1.	如 $∣ S ∣ < κ$ , 则由 $κ$ 是正则基数, 小于 $κ$ 个小于 $κ$ 的基数相加仍然小于 $κ$ , 所以 $∣ T ∣ < κ$ .
2.	如 $∣ S ∣ \geq κ$ , 则 $∣ T ∣ \leq s \in S \sum ∣ T_{s} ∣ \leq κ ∣ S ∣ = ∣ S ∣.$

最后由

S

与

T

的对称性即得欲证.

$□$

推论 3.3. 群、环、域、模的极小生成元组要么都有限, 要么都等势.

证明. 这是因为对于群、环、域、模, 一个元素被一族元素生成就被其中有限个生成, 也就是对

κ = ℵ_{0}

满足定理 3.2 的条件.

$□$

4相关概念

•	区分元
•	基
•	有限生成模

术语翻译

生成元 • 英文 generator • 法文 générateur

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生成元

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