单态射

在范畴论中, 单态射是范畴中的一类态射. 这一概念描述的是类似集合间单射的态射, 但仅通过范畴中的信息来定义, 故将集合间单射的概念推广到任何范畴中.

单态射与满态射互为对偶.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $f:x\to y$ 为 $\mathcal{C}$ 中态射. 称 $f$ 为单态射, 如果满足以下条件:

•	对任何对象 $w\in \mathcal{C}$ 及任何态射 $g,g^{\prime }:w\to x$, 若 $f\circ g=f\circ g^{\prime }$, 则 $g=g^{\prime }$.

等价地说,

•	对任何对象 $w\in \mathcal{C}$, 集合间映射$$f_{\ast }:\mathcal{C}(w,x)\to \mathcal{C}(w,y)$$是单射, 其中 $f_{\ast }$ 定义为 $f\circ (-)$.

2例子

•	集合的单态射就是单射.

•	代数结构的单态射通常等价于集合意义下的单射. 例如, 群、环、模、代数等皆如此.

•	拓扑空间的单态射等价于集合意义下的单射.

3性质

命题 3.1. 单态射的复合仍是单态射; 若 $g\circ f$ 是单态射, 则 $f$ 是单态射.

证明. 这是因为集合间单射的复合仍是单射, 且集合间单射满足第二条性质.

$\square$

命题 3.2. 单态射被拉回保持.

命题 3.3. 单态射被右伴随保持.

4相关概念

术语翻译

单态射 • 英文 monomorphism • 德文 Monomorphismus (m) • 法文 monomorphisme (m)