推出

注意区分本文与 “前推”.

在范畴论中, 推出 (或称粘连和、余纤维积、余 Descartes 方块) 是一种万有构造, 描述在范畴中, 将两个对象沿着它们的某个部分 “粘贴” 起来, 得到一个新对象的操作.

例如, 若 $X$ 是拓扑空间, $U,V\subset X$ 为开集, 满足 $X=U\cup V$, 则 $X$ 可以视为由 $U$ 和 $V$ 沿它们各自的开子集 $U\cap V$ 粘起来得到的空间. 此时, 我们说 $X$ 是 $U$ 和 $V$ 沿 $U\cap V$ 的推出.

推出常常用图表$$ABCD┘$$来表示, 这里 $D$ 是 $B,C$ 沿 $A$ 粘起来得到的对象, 常常记为$$D=B\bigsqcup _{A}C.$$

推出是拉回的对偶.

1定义

定义 1.1 (推出). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 对于 $\mathcal{C}$ 中的图表$$ABCfg$$而言, 如果这个图表具有余极限, 就把这个余极限叫做 $B,C$ 关于 $A$ 沿着映射 $f,g$ 的推出.

具体地说, 该推出是指交换图表$$ABCD\text{ ,}fg{g}^{\prime }{f}^{\prime }$$它满足以下万有性质: 对任意对象 $D^{\prime }\in \mathcal{C}$, 如果有交换图表$$ABC{D}^{\prime }\text{ ,}fg{g}^{\prime \prime }{f}^{\prime \prime }$$则存在唯一的态射 $h:D\to D^{\prime }$, 使得以下图表交换: $$ABCD{D}^{\prime }.fg{g}^{\prime }{g}^{\prime \prime }{f}^{\prime }{f}^{\prime \prime }\exists !h$$

推出常常用图表$$ABCD┘$$表示, 有时也用$$ABABCDCD┌(\mathrm{PO})$$来表示, 此图表称为推出图表或推出方块.

推出得到的对象 $D$ 常常记为$$D=B\bigsqcup _{f,A,g}C\text{或}D=B\bigsqcup _{A}C,$$其中 $f,g$ 是上述定义中的态射. 有时也使用以下记号:$$D=B{\cup }_{A}C,D=B\underset{A}{⨿}C.$$

注 1.2. 在定义 1.1 中, 如果 $A$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 的始对象, 那么推出 $B{\bigsqcup }_{A}C$ 就是范畴 $\mathcal{C}$ 中的余积 $B\bigsqcup C$.

2例子

•	集合的推出可以如下描述. 设 $f:A\to B$ 与 $g:A\to C$ 为集合映射. 则$$B\bigsqcup _{A}C=(B\bigsqcup C)/\sim ,$$其中 $B\bigsqcup C$ 为无交并; 等价关系 $\sim$ 由以下关系生成: 对任何 $a\in A$, 有 $f(a)\sim g(a)$.

•	拓扑空间的推出是粘连空间.

•	群的推出是粘连自由积.

•	群胚、范畴的推出是粘连范畴. 但需注意, 这里的推出实际上是 $2$-推出, 故并不严格符合本文的定义.

3相关概念

•	$2$-推出、同伦推出

术语翻译

推出 • 英文 pushout • 德文 Pushout (n) • 法文 pushout (m)

粘连和 • 英文 amalgamated sum • 德文 amalgamierte Summe (f) • 法文 somme amalgamée (f)

余纤维积 • 英文 fibre(d) coproduct • 美式英文 fiber(ed) coproduct • 德文 Kofaserprodukt (n)

余 Descartes 方块 • 英文 cocartesian square • 德文 kokartesisches Quadrat (n)