前推

前推是一种构造, 直观来说, 对于两个对象之间的态射 $X\to Y$, 可以从基于 $X$ 的某物, 沿着此映射把此物前推去, 得到基于 $Y$ 的相应物.

在严格的数学语言中, 协变函子在态射 $f$ 上的作用称为该态射的前推态射, 记为 $f_{\ast }$, 前推映射在某个元素 (或对象) 上的作用称为这一元素 (或对象) 的前推. 与之对偶的概念是拉回.

通过 Grothendieck 构造的观点, 前推也可以视为余纤维范畴中的一个操作.

1例子

•	态射的复合: 在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 态射 $f:X\to Y$ 沿着 $g:Y\to Z$ 的前推是态射$$g_{\ast }(f)=g\circ f:X\to Z,$$其相应的函子是 $\mathcal{C}(X,-)$.
•	推出, 范畴论中的一种泛构造, 在范畴 $\mathcal{C}$ 中, 其相应的函子是 $X\mapsto {\mathcal{C}}_{X/}$. 与之对偶的概念是拉回.
•	前推 (向量场), 其相应的函子将流形 $M$ 对应至其切丛 $\mathrm{T}M$.
•	前推 (测度), 其相应的函子为把可测空间映至其上所有测度构成的空间.
•	前推 (代数链), 其相应的函子是把代数簇 $X$ 映至其代数链群 ${\mathcal{Z}}^{\bullet }(X)$.
•	前推 (同调), 其对应的函子为将空间 $X$ 对应至其同调 $H_{\bullet }(X)$.
•	前推层, 其对应的函子将拓扑空间 (或景) $X$ 映至其上层范畴 $\mathsf{Sh}(X)$, 或将环化空间 (或环化景) $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 映至其上模层范畴 $\mathsf{Mod}\text{-}{\mathcal{O}}_X$. 此外也可参见紧支前推.
•	意象间态射定义的一部分, 这是上一例的抽象.

术语翻译

前推 • 英文 pushforward • 德文 Pushforward (m) • 法文 image directe (f)