交换图

交换图 (也称为交换图表) 是范畴论中的一种记号, 它由一系列顶点和箭头构成, 表示范畴中的几个对象和态射. 例如, 我们说$$ABCDfg{g}^{\prime }{f}^{\prime }$$是范畴 $\mathcal{C}$ 中的交换图, 是说有 $\mathcal{C}$ 中的四个对象 $A,B,C,D$, 以及它们之间的态射 $f\in \mathcal{C}(A,B)$ 等等, 如图中所标示. 并且有$$f^{\prime }\circ g=g^{\prime }\circ f.$$当这个条件满足时, 我们说图表是交换的. 当然, 交换图也可以包含更少或更多的对象和态射. 这时, 我们说图表是交换的, 意思是任两个对象之间, 沿着任意路径行走得到的态射都相等.

1定义

定义 1.1 (图表). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J$ 是有向图. 则 $\mathcal{C}$ 中的一个 $J$ 形图表由以下信息组成:

•	对 $J$ 的每个顶点 $v$, 有一个对应的 $\mathcal{C}$ 的对象 $x_v$.
•	对 $J$ 的每条边 $e$, 如果 $e$ 从顶点 $v$ 出发而指向顶点 $w$, 那么有一个对应的 $\mathcal{C}$ 的态射 $f_e\in \mathcal{C}(x_v,x_w)$.

定义 1.2 (交换图). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J$ 是有向图. 按照定义 1.1 的记号, $\mathcal{C}$ 中的一个 $J$ 形图表称为交换的, 或一个交换图, 如果满足以下条件:

•	对 $J$ 的任意顶点 $v,w$, 以及 $J$ 中所有从 $v$ 到 $w$ 的路径$$v=v_0\stackrel{e_1}{\to }{v}_1\stackrel{e_2}{\to }\cdots \stackrel{e_n}{\to }{v}_n=w,$$对应的复合态射$$f_{e_n}\circ \cdots \circ f_{e_1}\in \mathcal{C}(v,w)$$都是同一个态射, 而不依赖于路径的选取. 这里, 当 $n=0$ 时, 我们约定 $0$ 个态射的复合是恒等态射.

2相关概念

术语翻译

交换图 • 英文 commutative diagram • 德文 kommutatives Diagramm • 法文 diagramme commutatif • 拉丁文 diagramma commutativum