始对象

在范畴论中, 始对象是范畴中的一个特殊的对象, 它到任何别的对象都有唯一的态射. 例如, 空集到任何别的集合都有唯一的映射, 因此是集合范畴的始对象. 正因如此, 一般范畴中的始对象也常常记为 $\varnothing$.

始对象是 $0$ 个对象的余积, 也是空余极限. 例如, 在集合范畴中, 余积是集合的无交并, 故 $0$ 个集合的无交并给出空集 $\varnothing$.

始对象的对偶概念是终对象.

1定义

定义 1.1 (始对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的始对象是指对象 $\varnothing \in \mathcal{C}$, 满足以下万有性质:

•	对任意 $x\in \mathcal{C}$, 存在唯一的态射 $\varnothing \to x$.

始对象不一定存在, 但如果存在, 则在同构意义下唯一.

2例子

•	集合范畴的始对象是空集 $\varnothing$.

•	拓扑空间范畴的始对象是空空间 $\varnothing$.

•	群范畴的始对象是平凡群, 这也是零对象.

•	环范畴的始对象是整数环 $\mathbb{Z}$.

•	域范畴没有始对象, 因为不同特征的域之间没有态射. 但所有特征 $0$ 域构成的范畴有始对象 $\mathbb{Q}$, 所有特征 $p$ 域构成的范畴有始对象 ${\mathbb{F}}_p$.

•	向量空间范畴的始对象是零向量空间, 这也是零对象.

3性质

4相关概念

术语翻译

始对象 • 英文 initial object • 德文 Anfangsobjekt (n) • 法文 objet initial (m)