Kan 扩张

范畴论中, Kan 扩张是一种重要的万有构造. 函子 沿函子 的 Kan 扩张是指 的某种 “最佳逼近” , 如下图所示.一般而言, 我们并不能找到 使上图交换. 这是因为对每个 , 其原像 可能被 映到 中的若干不同的对象. 这时, 我们不再期望 同构于这些对象 (这意味着上图交换), 而只是期望 有到这些对象的态射, 或者这些对象有到 的态射. 并且, 我们要求这些态射满足类似极限余极限的万有性质. 这样, 就能唯一确定下来. 前一种情况 (类似极限) 称为右 Kan 扩张, 而后一种情况 (类似余极限) 称为左 Kan 扩张.

范畴论中的诸多万有构造都是 Kan 扩张的特例, 包括极限余极限伴随函子导出函子等.

1定义

对于范畴

定义 1.1 (Kan 扩张). 设给定范畴函子 沿 左 Kan 扩张, 如果存在, 是指函子 , 带有自然变换 , 满足以下万有性质:

对任何函子 以及任何自然变换 , 存在唯一的自然变换 , 使得 , 其中 垂直复合, 如下图所示.

此时, 记 .

与之对偶, 沿 右 Kan 扩张, 如果存在, 是指函子 , 带有自然变换 , 满足以下万有性质:

对任何函子 以及任何自然变换 , 存在唯一的自然变换 , 使得 , 如下图所示.

此时, 记 .

一般 -范畴中

2例子

我们采用定义 1.1 中的记号.

函子沿恒同函子的左、右 Kan 扩张均为其自身.

如果能找到一个真正的扩张, 即 使得 , 则 同时是 沿 的左、右 Kan 扩张.

单点范畴, 则函子 沿 的左 Kan 扩张就是 余极限 ; 其右 Kan 扩张就是 极限 .

恒同函子 沿 的左、右 Kan 扩张若被 保持, 则分别为 的右、左伴随函子.

局部化, 则函子 沿 的左、右 Kan 扩张分别是 的右、左导出函子.

3相关概念

术语翻译

Kan 扩张英文 Kan extension德文 Kan-Erweiterung (f)法文 extension de Kan (f)