群对象

在范畴论中, 群对象是群的概念的推广. 我们熟知, 群是带有乘法操作的集合, 使得乘法有单位元、逆元. 我们可以将其推广为任何范畴 $\mathcal{C}$ 的对象, 带有乘法操作, 并且乘法有单位元、逆元. 这样的对象就是 $\mathcal{C}$ 中的群对象.

例如, 群是集合范畴的群对象; Lie 群是光滑流形范畴中的群对象; 代数群是代数簇范畴中的群对象, 如此等等.

1定义

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, 具有有限乘积. 特别地, $\mathcal{C}$ 有终对象 $\ast$.

定义 1.1. $\mathcal{C}$ 中的群对象是四元组 $(G,m,e,i)$, 其中

•	$G\in \mathcal{C}$ 是一个对象.

•	$m:G\times G\to G$ 是态射, 称为乘法.

•	$e:\ast \to G$ 是态射, 称为群对象的单位元.

•	$i:G\to G$ 是态射, 称为取逆元.

使得以下图表交换:

•	(结合律) $$G\times G\times GG\times GG\times GG\text{ .}m\times 1_G{1}_G\times mmm$$

•	(单位律) $$GG\times GGG\times G\text{ .}(e,1_G)(1_G,e)1_{G}mm$$

•	(逆元) $$GG\times GGG\times G\text{ ,}(i,1_G)(1_G,i)emm$$其中 $e:G\to G$ 是复合$$G⟶\ast \stackrel{e}{⟶}G.$$

若 $G$ 还满足以下条件:

•	(交换律) $$G\times GG\times GG\text{ ,}\delta mm$$其中映射 $\delta$ 为交换两个分量, 则称 $G$ 为交换群对象或 Abel 群对象.

有自然的方式定义群对象间的态射.

定义 1.2. 设 $G_k=(G_k,m_k,e_k,i_k)(k=1,2)$ 为群对象. 一个同态 $f:G_1\to G_2$ 是一个态射 $f:G_1\to G_2$, 使得它与群乘法相容, 即有交换图表$$G_1\times G_1{G}_2\times G_2{G}_1{G}_2\text{ .}f\times f{m}_1{m}_{2}f$$

容易验证, 群同态的复合还是同态. 从而我们得到一个范畴.

定义 1.3. 设 $\mathcal{C}$ 是一个有有限乘积的范畴. $\mathcal{C}$ 的群对象范畴是如下范畴, 它的对象是 $\mathcal{C}$ 的群对象, 态射是群对象的同态. $\mathcal{C}$ 的交换群对象范畴是群对象范畴的由交换群对象构成的全子范畴.

仅在本文中以 ${\mathsf{Grp}}_{\mathcal{C}}$, ${\mathsf{Ab}}_{\mathcal{C}}$ 表示这两个范畴.

注 1.4. 群对象范畴似乎没有标准记号. 对于景 $\mathcal{C}$, $\mathsf{Ab}(\mathcal{C})$ 通常表示 $\mathcal{C}$ 上的交换群层. 后面我们会看到, 在上述情形中若可表函子都是层, 则 ${\mathsf{Ab}}_{\mathcal{C}}$ 是 $\mathsf{Ab}(\mathcal{C})$ 的全子范畴.

2例子

•	集合范畴中的群对象就是群, 交换群对象就是 Abel 群.

•	群范畴中的群对象是 Abel 群, 这是由于 Eckmann–Hilton 论证. 这样的群对象自动是交换的.

•	拓扑空间范畴中的群对象是拓扑群, 交换群对象是交换的拓扑群.

•	光滑流形范畴中的群对象是 Lie 群, 交换群对象是交换的 Lie 群.

•	代数簇范畴中的群对象是代数群, 交换群对象是交换的代数群.

•	概形范畴中的群对象是群概形, 交换群对象是交换的群概形.

•	代数空间范畴中的群对象是群代数空间, 交换群对象是交换的群代数空间.

3性质

我们先陈述一些函子性. 本节的结论中, 将 “群对象” 替换为 “交换群对象”, 易见有相应结论, 于是不重复给出.

事实上, 这些结论对任何 (有限) 范畴代数结构都正确. 待相关页面完善后, 本节应改为到相应页面的引用.

命题 3.1. 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子. 假设 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 有有限乘积, $F$ 和它们交换. 则 $F$ 诱导函子$${\mathsf{Grp}}_F:{\mathsf{Grp}}_{\mathcal{C}}\to {\mathsf{Grp}}_{\mathcal{D}},$$它由 ${\mathsf{Grp}}_F(G,m,e,i)=(F(G),F(m),F(e),F(i))$ 给出. 这一构造和函子的复合相容.

进一步, 若 $F$ 全忠实, ${\mathsf{Grp}}_F$ 亦然.

证明是显然的.

命题 3.2. 设 $\mathcal{I}$ 是范畴, $\mathcal{D}$ 是有有限乘积的范畴, $\mathcal{C}:=\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{D})$. 则$${\mathsf{Grp}}_{\mathcal{C}}=\mathsf{Fun}(\mathcal{I},{\mathsf{Grp}}_{\mathcal{D}}).$$

证明完全是抽象废话, 所以略去.

以下假设 $\mathcal{C}$ 是小范畴. 则 Yoneda 函子 $j:\mathcal{C}\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 全忠实且保持极限. 于是有全忠实函子$$j:{\mathsf{Grp}}_{\mathcal{C}}\to {\mathsf{Grp}}_{\mathsf{PSh}(\mathcal{C})}=\mathsf{PGrp}(\mathcal{C}).$$

于是我们得到群对象的函子性观点: 一个群对象是一个对象 $G$, 连同对每个对象 $T$, 给 $\mathcal{C}(T,G)$ 赋予群结构, 使得它们对传递映射相容, 换言之即函子 $\mathcal{C}\to \mathsf{Grp}$ 满足复合忘却函子之后为 $h_G$. 在此观点下, 很多图表交换性结论可以由群的相应结论得到.

最后, 我们给出一个在代数几何中常用的引理: 群的对角线和单位元的含入互为拉回, 而群的乘法映射同构于到一个分量的投影.

引理 3.3. 设 $G=(G,m,e,i)$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 的群对象. 则在 $\mathcal{C}$ 中有交换图表

$$\ast G\ast GG\times GG\ast G\ast \text{ ,}ee{\Delta }_{G}e(1_G,e)(x,y)\mapsto x{y}^{-1}(x,y)\mapsto ye$$

$$\ast G\ast GG\times GG\ast G\ast \text{ ,}ee(1_G,i)e(1_G,e)m(x,y)\mapsto ye$$且各矩形均为拉回图表. 其中, $\Delta$ 为对角线.

证明. 由函子观点显然.

$\square$

术语翻译

群对象 • 英文 group object • 德文 Gruppenobjekt • 法文 objet en groupe; groupe (d’une catégorie)