意象

意象是一类范畴. 意象的概念可以从多个不同的角度来理解:

•	一方面, 意象可以视为由某一类空间的全体构成的范畴, 其中的空间局部上看起来像是某种给定的空间. 并且, 这里空间的概念需要足够一般, 即需要允许很多空间存在, 以使得整个意象具有类似集合范畴的性质. 这样, 很多一般的操作, 例如任意多个空间的积空间, 或两个空间的映射空间等, 都可以在该意象内进行. 例如, 光滑流形并不构成意象, 但对应的广义的空间概念, 即光滑集合, 构成一个意象.

•	另一方面, 也可以不将意象的对象视为空间, 而是将意象自身视为一个抽象的空间. 意象是景上取值在集合的层构成的范畴, 它反映了相应的景的本质信息. 景可以视为一种抽象的空间, 例如在代数几何中, 常常将概形的平展景、平坦景等与概形自身等同起来, 从而将这些景视为空间; 一般的景则代表更一般的空间. 而意象的概念则是进一步的抽象: 我们将意象视为相应的景所代表的空间, 从而意象的对象可以视作该空间上的层. 这种视角有时比景的观点更加自然, 例如景之间有时不能定义好的态射, 但相应的意象之间却可以.

1定义

通过层范畴

定义 1.1. 称范畴 $\mathcal{X}$ 为意象, 如果存在景 $\mathcal{C}$, 使得 $\mathcal{X}$ 等价于 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$, 其中 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 是景 $\mathcal{C}$ 上取值在集合范畴上的层构成的范畴.

意象之间可以定义态射, 它们是层的前推和拉回的类比.

定义 1.2. 两意象之间的态射 $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$, 有时称为几何态射, 是一对伴随函子$$(f^{-1}⊣f_{\ast }):\mathcal{Y}\rightleftarrows \mathcal{X},$$其中 $f^{-1}$ 是正合函子. 函子 $f_{\ast }$ 和 $f^{-1}$ 分别称为前推和拉回.

通过公理

(...)

2例子

•	集合范畴是意象, 它是单点空间上所有集合层构成的范畴. 作为空间, 该意象对应于单点空间.

•	光滑集合的范畴是意象, 它是 Euclid 空间及其之间光滑映射构成的景上所有集合层构成的范畴.

•	对代数几何中使用的景, 例如 Zariski 景、平展景、平坦景、晶体景, 均对应相应的意象. 作为空间, 这些意象对应于相应的概形.

3性质

与景的关系

命题 3.1. 景之间的态射 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ (将其下范畴间的函子记为 $u:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$) 诱导了意象之间的态射 $f:\mathsf{Sh}(\mathcal{C})\to \mathsf{Sh}(\mathcal{D})$, 定义为: $$\begin{array}{c}{f}_{\ast }\mathcal{F}(U)=\mathcal{F}(u(U))\\ f^{-1}\mathcal{G}(V)=\underset{U\in I^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}\mathcal{G}(U)\end{array}$$其中 $I$ 是由所有态射 $V\to u(U)$ 以及它们之间的相容态射构成的范畴.

注 3.2. 意象间的态射未必由景之间的态射诱导, 例如晶体意象的态射一般无法由晶体景诱导.

点与茎

定义 3.3 (点). 意象 $\mathcal{X}$ 上的点是指形如 $p:\mathsf{Set}=\mathsf{Sh}(\ast )\to \mathcal{X}$ 的态射.

特别地, 由定义可以看出, 拓扑空间中的一个点诱导了相应的意象中的点.

定义 3.4 (茎). 对意象 $\mathcal{X}$ 中的对象 (即 $\mathcal{C}$ 上的层) $\mathcal{F}$ 在点 $p$ 处的茎为 $p^{-1}\mathcal{F}$.

子对象分类子

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4相关概念

•	$\infty$-意象
•	环化意象

术语翻译

意象 • 英文 topos • 德文 Topos (m) • 法文 topos (m) • 古希腊文 τόπος (m)