Euclid 空间

Euclid 空间是指形如$${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\}$$的空间, 其中 $n$ 是自然数, 并且带有额外的结构, 使得在其中能够定义长度、角度等概念.

严格地说, Euclid 空间是 Euclid 向量空间上的仿射空间. 换言之, Euclid 空间是 “忘掉原点在哪里” 的 Euclid 向量空间. 在 Euclid 向量空间中, 原点具有特殊的地位, 但 Euclid 空间中, 所有点都具有同等地位.

另一方面, Euclid 空间也是拓扑空间, 它是流形的基本例子. Euclid 空间中距离的概念赋予其自然的 Riemann 流形结构.

1定义

作为仿射空间

定义 1.1 (Descartes 空间). 设 $n\ge 0$ 是自然数. 则 $n$ 维 Descartes 空间是指实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间$${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\},$$即 $\mathbb{R}$ 与自身的 $n$ 重 Descartes 积.

定义 1.2 (Euclid 内积). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 内积是如下定义的内积: 对 $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$, 定义$$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i.$$这个内积使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为内积空间, 称为 Euclid 向量空间.

定义 1.3 (Euclid 空间). Euclid 空间是 Euclid 向量空间上的仿射空间.

作为拓扑空间

定义 1.4 (Euclid 范数). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 范数是如下定义的范数: 对 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 定义$$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$$这个范数使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为赋范线性空间.

定义 1.5 (Euclid 距离). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 距离是如下定义的距离: 对 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, 定义$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ,$$其中 $\Vert \cdot \Vert$ 是 Euclid 范数. 这个距离使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为度量空间.

定义 1.6 (Euclid 拓扑). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 拓扑是 Euclid 距离诱导的拓扑. 这使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为拓扑空间.

作为流形

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注 1.7. 几何学中有时称单连通平坦 Riemann 流形为 Euclid 空间.

2性质

3历史注记

术语翻译

Euclid 空间 • 英文 Euclidean space • 德文 euklidischer Raum • 法文 espace euclidien • 拉丁文 spatium euclideum • 古希腊文 εὐκλείδειος χῶρος