内积空间

内积空间是 Euclid 空间的抽象, 它是个实或复的线性空间, 并带有正定的 (半) 双线性型以模拟 Euclid 空间中的内积. 这样的线性空间具有度量空间的结构, 而可以谈论 “距离” 等概念.

有时内积空间被称为预 Hilbert 空间, 而在 1.5 中定义的度量下完备的内积空间即是 Hilbert 空间.

1定义

一般所说的内积空间有实或复两种.

定义 1.1 (实内积空间). 实内积空间是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $V$, 配有映射 $⟨-,-⟩:V\times V\to \mathbb{R}$, 满足:

•	双线性: $⟨-,-⟩$ 是双线性型.
•	对称性: $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$ 对任意 $x,y\in V$ 都成立.
•	正定性: 对 $x\in V$, $⟨x,x⟩\ge 0$ 且取等当且仅当 $x=0$.

此时 $⟨-,-⟩$ 称为 $V$ 上内积 (或数量积, 标量积等).

定义 1.2 (复内积空间). 复内积空间是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间 $V$, 配有映射 $⟨-,-⟩:V\times V\to \mathbb{C}$, 满足:

•	半双线性: $⟨-,-⟩$ 关于第一个分量是线性的 (由下面的性质可以知道它是半双线性型).
•	共轭对称性: $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$ 对任意 $x,y\in V$ 都成立 ($\bar{a}$ 表示 $a$ 的复共轭).
•	正定性: 对 $x\in V$, $⟨x,x⟩\ge 0$ 且取等当且仅当 $x=0$.

此时 $⟨-,-⟩$ 称为 $V$ 上内积.

注 1.3. 如果在复内积空间的定义中仍然要求对称性, 则$$⟨\mathrm{i}x,\mathrm{i}x⟩={\mathrm{i}}^2⟨x,x⟩=-1⟨x,x⟩,$$由此不再能保有正定性. 而要求共轭对称性后, $$⟨\mathrm{i}x,\mathrm{i}x⟩=\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})⟨x,x⟩=⟨x,x⟩,$$而避免了此问题.

定义 1.4 (范数). 对内积空间 $V$ (无论实或复), 定义函数$$\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R},x\mapsto ⟨x,x{⟩}^{\frac{1}{2}}$$则此函数是 (并且称为) $V$ 上的范数.

定义 1.5 (度量). 对内积空间 $V$ (无论实或复), 定义函数$$d(-,-):V\times V\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto ⟨x-y,x-y{⟩}^{\frac{1}{2}}.$$则 $V$ 成为度量空间, 此函数称为 $V$ 上的度量.

定义 1.6 (等距同构). 两个内积空间 $(V,⟨-,-{⟩}_V)$, $(W,⟨-,-{⟩}_W)$ 之间的线性映射 $f:V\to W$ 称为等距 (或保距) 的, 如果 $f$ 满足$$⟨x,y{⟩}_V=⟨f(x),f(y){⟩}_W\forall x,y\in V.$$如果 $f$ 同时是双射, 此映射称为等距同构.

2例子

正如引言中所说, Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 可以赋予实内积空间的结构.

例 2.1. 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中, 对 $x=(x_1,\cdots ,x_n)$, $y=(y_1,\cdots ,y_n)$ 定义$$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+\cdots x_n{y}_n$$则它成为实内积空间.

类似地, ${\mathbb{C}}^n$ 可以赋予复内积空间的结构.

例 2.2. 在 ${\mathbb{C}}^n$ 中, 对 $x=(x_1,\cdots ,x_n)$, $y=(y_1,\cdots ,y_n)$ 定义$$⟨x,y⟩=x_1{\bar{y}}_1+\cdots x_n{\bar{y}}_n$$则它成为复内积空间.

3性质

命题 3.1. 任意有限维内积空间均同构于相应域上的相同维数的标准内积空间, 即 2.1,  2.2 中之定义.

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4相关概念

•	范数
•	Hilbert 空间

5参考文献

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术语翻译

内积空间 • 英文 inner product space • 德文 Skalarproduktraum, Vektorraum mit innerem Produkt, Innenproduktraum • 拉丁文 spatium producti interni • 古希腊文 χῶρος ἐσωτερικοῦ γενομένου

预 Hilbert 空间 • 英文 pre-Hilbert space • 德文 Prähilbertraum, prähilbertscher Raum • 法文 espace préhilbertien

内积 • 英文 inner product, scaler product • 德文 inneres Produkt, Skalarprodukt • 法文 produit scalaire • 拉丁文 productum internum • 古希腊文 ἐσωτερικὸν γενόμενον