Hilbert 空间

Hilbert 空间是一类向量空间, 它带有实或复的内积, 并且它关于该内积诱导的范数是完备度量空间. 因此, 特别地, Hilbert 空间都是 Banach 空间.

Hilbert 空间在量子力学、泛函分析、Fourier 分析等诸多领域都有应用.

1定义

定义 1.1 (Hilbert 空间). Hilbert 空间是指实或复的内积空间 $(X,⟨-,-⟩)$, 它关于内积诱导的范数 $\Vert \cdot \Vert$ 是完备度量空间.

特别地, 在范数 $\Vert \cdot \Vert$ 下, Hilbert 空间是 Banach 空间.

以下定义 Hilbert 空间之间的两类映射.

定义 1.2 (连续算子). 设 $X,Y$ 是 Hilbert 空间. 它们之间的连续算子, 或称有界算子, 是指线性映射 $f:X\to Y$, 它关于 $X,Y$ 各自的范数诱导的拓扑是连续映射.

等价而言, 存在常数 $C>0$, 使得对任意 $x\in X$, 有$$\Vert f(x){\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X.$$

定义 1.3 (等距同构). 设 $X,Y$ 是 Hilbert 空间. 它们之间的等距同构是指可逆线性映射 $f:X\to Y$, 它保持内积, 即对任何 $x,y\in X$, 有 $⟨f(x),f(y){⟩}_Y=⟨x,y{⟩}_X$.

我们也给出一种子空间的概念, 这与 Banach 空间中的相应概念类似.

定义 1.4 (闭子空间). Hilbert 空间 $X$ 的闭子空间是指在范数诱导的拓扑下是闭集的子向量空间. $X$ 的内积诱导了该子空间的内积, 使之也成为 Hilbert 空间.

2例子

•	有限维内积空间必然完备, 因此是 Hilbert 空间.

但我们感兴趣的 Hilbert 空间通常是无穷维的, 见以下几例.

•	设 $X$ 是测度空间. 则 $p=2$ 时, 实或复的 $L^p$ 空间 $L^2(X)$ 分别是实或复的 Hilbert 空间, 此时, 内积 $⟨-,-⟩:L^2(X)\otimes L^2(X)\to \mathbb{C}$ 定义为$$⟨f,g⟩={\int }_X\overline{f(x)}g(x)dx.$$这里, 对实的情况, 可以忽略式中的复共轭.

•	设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集. 则 Sobolev 空间 $H^k(U)=W^{k,2}(U)$ 是 Hilbert 空间.

3性质

Hilbert 基

在 Hilbert 空间中, 有 Hilbert 基的概念. 正如在有限维向量空间中, 任何向量都可以写成一组基中元素的有限线性组合, 在 Hilbert 空间中, 任何向量也都可以写成一组 Hilbert 基中元素的线性组合, 但该线性组合可以是无限的, 该无限求和在 Hilbert 空间的范数下收敛到原来的向量.

定义 3.1 (正交和正交补). 称内积空间 $X$ 的元素 $x,y$ 正交, 是指 $⟨x,y⟩=0$, 记为 $x\perp y$.

对子集 $Y\subset X$, 称 $x$ 与 $Y$ 正交, 记为 $x\perp Y$, 是指对任何 $y\in Y$ 有 $x\perp y$. 集合 $Y^{\perp }=\{x\in X\mid x\perp Y\}$ 称为 $Y$ 的正交补.

可以把直角坐标系的概念推广到 Hilbert 空间.

定义 3.2 (正交集). 设 $S$ 是内积空间 $X$ 的子集. 如果 $S$ 中任何两个元素都正交, 则称 $S$ 为正交集. 如果 $S$ 的任何元素 $e$ 都满足 $\Vert e\Vert =1$, 则称 $S$ 为标准正交集. 如果 $S^{\perp }=\{0\}$, 即没有非零元与 $S$ 正交, 则称 $S$ 为完备正交集. 当然, 还有完备标准正交集.

在线性空间中我们用 Zorn 引理证明过基的存在性. 这里, 同样可以用它来证明完备正交集的存在性.

定理 3.3 (完备正交集存在). 非零内积空间 $X$ 必定存在完备正交集.

证明. 因为 $X$ 非零, 故其中的正交集按照包含关系可构成偏序集. 显然, 其中每个全序子集都有上界 (取并集即可). 根据 Zorn 引理, 这个偏序集有极大元, 设为 $S$. 我们证明 $S$ 是完备正交集. 若不然, 则存在 $x_0\in S^{\perp },x_0\ne 0$, 令 $S_1=S\cup \{x_0\}$, 它是更大的正交集, 矛盾.

$\square$

定义 3.4. 内积空间 $X$ 中的标准正交集 $S$ 称为 Hilbert 基, 是指对任意 $x\in X$, 都有$$x=\sum _{e\in S}⟨x,e⟩\cdot e.$$这里, 我们要求该无限求和在 $X$ 的范数下收敛.

这实际上是 Fourier 级数中计算 Fourier 系数的方法的推广. 与那边一致, 有 Bessel 不等式.

定理 3.5 (Bessel 不等式). 考虑内积空间 $X$ 中的标准正交集 $S$. 则对任意 $x\in X$ 有$$\sum _{e\in S}|⟨x,e⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$$

证明. (梗概) 如果 $S=\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 是有限集, 只需注意$$0\le {\Vert x-\sum _{i=1}^n⟨x,e_i⟩e_i\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{i=1}^n|⟨x,e_i⟩{|}^2$$如果不然, 我们令$$S_m=\left\{e\in S\mid |⟨x,e⟩|>\frac{1}{m}\right\}$$上面关于有限项的结果告诉我们 $S_m$ 总是有限集. 于是$$S_0=\{e\in S\mid |⟨x,e⟩|\ne 0\}=\bigcup _{m=1}^{\infty }{S}_m$$是可数集, 即欲证式左边的求和实际上是是可数项求和. 于是只需要对有限项结论取极限即可.

$\square$

推论 3.6. 考虑 Hilbert 空间 $X$ 中的标准正交集 $S$. 则对任意 $x\in X$, $${\Vert x-\sum _{e\in S}⟨x,e⟩e\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{e\in S}|⟨x,e⟩{|}^2.$$

在 Fourier 分析中, 平方可积的函数满足 Parseval 等式. 在一般的 Hilbert 空间 (不只是 $L^2$ 空间) 中也是如此.

定理 3.7 (Parseval 等式). 考虑 Hilbert 空间 $X$ 中的标准正交集 $S$. 则以下等价:

•	$S$ 是一组 Hilbert 基.

•	$S$ 是完备标准正交集.

•	$S$ 满足 Parseval 等式: 对任意 $x\in X$, 有$$\Vert x{\Vert }^2=\sum _{e\in S}|⟨x,e⟩{|}^2.$$

关于正交性还有另一个话题. 如果 Euclid 空间中有一个平面, 则几何知识容易得到空间中任意的向量可以分解为与平面平行和垂直的两部分. 在一般的 Hilbert 空间中也是如此.

定理 3.8 (正交分解). 设 $Y$ 是 Hilbert 空间的闭线性子空间. 则对任意 $x\in X$, 存在 $y\in Y,z\in Y^{\perp }$ 使得 $x=y+z$.

正交分解的证明是构造性的. 实际上, $y$ 就是 $Y$ 中离 $x$ “最近” 的元素 (最佳逼近元), 而 $z=x-y$. 所谓最佳逼近元是指$$\Vert x-y\Vert =\underset{w\in Y}{\inf }\Vert x-w\Vert$$在 Hilbert 空间中可以证明这样的元素对任何闭凸集都存在且唯一.

Riesz 表示定理

利用正交分解, 可以证明大名鼎鼎的 Riesz 表示定理.

定理 3.9 (Riesz 表示定理). 设 $f$ 是 Hilbert 空间 $X$ 上的连续线性泛函. 则存在唯一的 $y\in X$, 使得对任意 $x\in X$ 有$$f(x)=⟨x,y⟩.$$

证明. 不妨设 $f$ 非零. 考虑$$M=\{x\in X\mid f(x)=0\}$$它是闭线性子空间. 根据正交分解定理, 可以取 $x_0\perp M,\Vert x_0\Vert =1,z\in M$ 使得$$x=\alpha x_0+z$$其中 $\alpha =f(x)/f(x_0)$, 这是因为 $f(z)=f(x-\alpha x_0)=0$, 得 $f(x)=\alpha f(x_0)$. 两边对 $x_0$ 做内积得$$\alpha =⟨x,x_0⟩$$所以$$f(x)=⟨x,x_0⟩f(x_0)=⟨x,\overline{f(x_0)}{x}_0⟩$$取 $y=\overline{f(x_0)}{x}_0$ 即可.

现在只要证明唯一性. 如果 $y_1,y_2$ 都符合要求, 则$$(x,y_1)=(x,y_2)\Rightarrow (x,y_1-y_2)=0,\forall x\in X$$令 $x=y_1-y_2$ 得 $y_1=y_2$.

$\square$

4相关概念

术语翻译

Hilbert 空间 • 英文 Hilbert space • 德文 Hilbertraum; hilbertscher Raum • 法文 espace de Hilbert