测度空间

测度空间是测度论的研究对象. 它是一种空间, 该空间中具有可测集的概念, 即 “可以测量大小的集合”. 这里的 “大小” 可以是长度、面积、体积等, 在测度空间中称为测度.

1定义

定义 1.1 (测度空间). 测度空间是三元组 $(X,\mathcal{A},\mu )$, 其中

•	$X$ 是集合.
•	$\mathcal{A}$ 是 $X$ 上的 $\sigma$-代数, 其元素称为可测集.
•	$\mu :\mathcal{A}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}\cup \{\infty \}$ 是 $\mathcal{A}$ 上的测度.

注 1.2. 在测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 中,

•	若 $\mu (X)<\infty$, 则称该测度空间为有限测度空间.
•	若 $\mu (X)=1$, 则称该测度空间为概率空间.
•	若 $\mu (X)\le 1$, 则称该测度空间为亚概率空间.

2例子

•	任何集合 $X$ 上均可定义计数测度, 其中 $\mathcal{A}=2^X$, 且对任何子集 $A\subset X$, 有$$\begin{array}{r}\mu (A)=\{\begin{array}{ll}|A|,& A\text{ 有限},\\ \infty ,& A\text{ 无限}.\end{array}\end{array}$$
•	${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lebesgue 测度, 其中 $\mathcal{A}$ 为 Lebesgue 可测集构成的 $\sigma$-代数, $\mu$ 为 Lebesgue 测度.

3性质

(…)

术语翻译

测度空间 • 英文 measure space • 德文 Maßraum (m) • 法文 espace mesuré (m) • 拉丁文 spatium mensum (n) • 古希腊文 μεμετρημένος χῶρος (m)