σ-代数

$\mathbf{\sigma }$-代数 (或 $\mathbf{\sigma }$-域) 是某个集合的一族子集构成的集合, 这族子集对于可数并、可数交、取补集的运算封闭. 因而, $\sigma$-代数是一种特殊的集合代数.

$\sigma$-代数是测度论、概率论中的一种基本结构, 因为在测度空间或概率空间中, 所有可测集构成 $\sigma$-代数.

1定义

定义 1.1 ($\sigma$-代数). 集合 $X$ 上的 $\mathbf{\sigma }$-代数是指 $X$ 的一族子集 $\mathcal{F}\subset 2^X$, 满足以下条件:

•	$\varnothing \in \mathcal{F}$.
•	如果 $E\in \mathcal{F}$, 那么 $X\setminus E\in \mathcal{F}$.
•	如果 $E_1,E_2,\dots ,\in \mathcal{F}$ 是可数多个元素, 那么它们的并 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n\in \mathcal{F}$.

2例子

•	${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 Borel 集构成 $\sigma$-代数.
•	${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 Lebesgue 可测集构成 $\sigma$-代数.

3性质

(…)

4相关概念

•	$\pi$ 系
•	$\lambda$ 系

术语翻译

$\sigma$-代数 • 英文 $\sigma$-algebra • 法文 tribu (f)