可测集

可测集直观来说就是在某种空间 (例如 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$) 中, 可以测量大小的集合, 这里大小指的是长度、面积、体积等概念. 即使集合的大小为 $0$ 或 $+\infty$, 也算作可测集.

可测集通常是一个很宽的概念. 例如, 在 ${\mathbb{R}}^n$ 通常的 Lebesgue 测度理论中, 所有开集和闭集都是可测集; 一些看起来病态的集合, 例如 Cantor 集, 也是可测集. 要构造一个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的不可测集是很难的, 需要用选择公理, 例如 Vitali 集.

严格的数学语言中的定义过程与上述直观恰好相反, 可测集是测度空间 (或者说可测空间) 定义的一部分: 首先要指定哪些集合是可测集, 然后用测度指定这些集合的大小. 上述所说 Lebesgue 测度即是一种符合直观的定义方式.

在概率论中, 概率空间是测度空间的一个例子. 其中的可测集就是事件, 其测度就是事件的概率.

术语翻译

可测集 • 英文 measurable set • 德文 messbare Menge (f) • 法文 ensemble mesurable (m) • 拉丁文 copia mensibilis (f) • 古希腊文 μετρητὸν σύνολον (n)