可测空间

可测空间指带有一个 $\sigma$-代数的集合, 用来指示该集合的哪些子集是可测集, 即 “可以测量大小的集合”. 测度的概念需要定义在可测空间上.

1定义

定义 1.1 (可测空间). 可测空间指二元组 $(X,\mathcal{A})$, 其中 $X$ 为集合, $\mathcal{A}$ 为 $X$ 上的 $\sigma$-代数.

此时, $\mathcal{A}$ 的元素称为 $X$ 的可测集.

2例子

•	拓扑空间上的 Borel $\sigma$-代数, 也就是使得其开集均可测的最小 $\sigma$-代数. 这是一种常见的构造可测空间的方法.
•	取 $X={\mathbb{R}}^n$, $\mathcal{A}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上所有 Lebesgue 可测集, 则 $(X,\mathcal{A})$ 是可测空间. 其上有自然的 Lebesgue 测度使之成为测度空间.

3相关概念

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测度空间

术语翻译

可测空间 • 英文 measurable space • 德文 Messraum (m) • 法文 espace mesurable (m) • 拉丁文 spatium mensibile (n) • 古希腊文 μετρητὸς χῶρος (m)