测度

测度是测度论的研究对象. 集合上的测度测量其子集的大小, 这里大小可以指长度、面积、体积等概念. 子集的大小为一个数, 称为该子集的测度. 通常, 并非所有子集都可测量大小. 可以测量大小的子集称为可测集, 它们构成一个 $\sigma$-代数.

带有测度的集合称为测度空间.

1定义

定义 1.1 (可测空间). 可测空间指二元组 $(X,\mathcal{A})$, 其中 $X$ 为集合, $\mathcal{A}$ 为 $X$ 上的 $\sigma$-代数.

此时, $\mathcal{A}$ 的元素称为 $X$ 的可测集.

定义 1.2 (测度). 可测空间 (定义 1.1) $(X,\mathcal{A})$ 上的测度指函数$$\begin{array}{rl}\mu :\mathcal{A}& \to {\mathbb{R}}_{\ge 0}\cup \{\infty \},\\ E& \mapsto \mu (E),\end{array}$$满足以下性质:

•	$\mu (\varnothing )=0$.
•	(可数可加性) 若 $E_1,E_2,\dots \in \mathcal{A}$ 是两两不交的集合, 则$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{E}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_n).$$

注 1.3 (有限性). 在定义 1.2 中,

•	如果 $\mu (X)<\infty$, 就说 $\mu$ 是有限测度.
•	如果 $X$ 能够表示为 $\mathcal{A}$ 中可数多个测度有限的子集之并, 即$$X=\bigcup _{n=1}^{\infty }{B}_n,B_n\in \mathcal{A},\mu (B_n)<\infty ,$$那么就称 $\mu$ 是 $\mathbf{\sigma }$-有限测度.

2例子

•	计数测度测量集合的元素个数. 在任何集合 $X$ 上均可定义计数测度, 所有子集 $E\subset X$ 均为可测集, 且 $\mu (E)=|E|$ 等于 $E$ 的元素个数.
•	${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lebesgue 测度测量集合的 $n$ 维体积, 其中 $\mathcal{A}$ 由所有 Lebesgue 可测集构成. 例如, 当 $n=1,2,3$ 时, 相应的测度分别测量集合的长度、面积、体积.

3性质

(…)

4相关概念

术语翻译

测度 • 英文 measure • 德文 Maß (n) • 法文 mesure (f) • 拉丁文 mensura (f) • 古希腊文 μέτρον (n)