Lebesgue 点

Lebesgue 点是个实分析概念. Lebesgue 可积函数的 Lebesgue 点指的是函数值与周围函数值平均而言差不多的点 (定义 1.1).

1定义

定义 1.1. 设函数 Lebesgue 可测. 称 Lebesgue 点, 指的是其中 表示 Lebesgue 测度, .

2性质

Lebesgue 点最重要的性质如下:

定理 2.1. 设函数 局部可积, 即限制在 的任一有界开集上都是 Lebesgue 可积. 则 的 Lebesgue 点为几乎处处, 即 Lebesgue 点集的补集 Lebesgue 零测.

证明. 由于一个点是不是 Lebesgue 点只依赖于其附近的函数值, 而 被可数个有界开集覆盖, 故把 在一个有界开集之外截成 , 可设 本身 Lebesgue 可积.

为简明起见, 暂记则需证明 几乎处处为 . 为此, 只需对任一 证明 , 其中 的简写. 现对 , 写 , 其中 紧支连续, . 则显然 , 且由连续性 . 接下来用 Hardy–Littlewood 极大函数估计 . 回忆极大函数的定义及其性质 . 又注意 , 而 . 于是故由 的任意性, . 定理得证.

3应用

Lebesgue 点有各种应用, 在此展示几例.

命题 3.1. 为 Lebesgue 可测, . 则 包含 的邻域.

证明. 考虑 的示性函数 , 即在 中取值 外取值 的函数. 显然其局部可积, 故其 Lebesgue 点几乎处处. 而 , 所以可取 , 是 的 Lebesgue 点. 由 Lebesgue 点的定义不难得到于是可取 , 使得 . 我们来证明此时 . 记 , . 对任一 , 由 , 从而 . 这样一来, 由于 都是 的子集, 而 , 所以 . 取 , 则 , 即 .

命题 3.2., . 则集合 为 Lebesgue 零测, 其中 .

证明. 换成其闭包不改变 , 故可设 为闭集. 这样的好处是 定义中的 总能在某个 取到. 考虑集合则它显然为开集, 特别地其示性函数 为局部可积. 现对满足 的点 , 取 使得 . 则 , 从而, , 所以 不是 的 Lebesgue 点. 集合 中的元素都不是 的 Lebesgue 点, 所以它零测.

4相关概念

Hardy–Littlewood 极大函数

术语翻译

Lebesgue 点英文 Lebesgue point法文 point de Lebesgue