Hardy–Littlewood 极大函数

Hardy–Littlewood 极大函数是实分析和调和分析中重要的次线性算子, 是极大算子的一类典型代表.

1定义

我们考虑 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^d$ 上取值为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 的函数, 并使用 ${\mathbb{R}}^d$ 上的 Lebesgue 测度. 但一些定义和结论可以推广到一般的各向同性空间.

定义 1.1 (Hardy-Littlewood 极大函数). ${\mathbb{R}}^d$ 上 Lebesgue 局部可积函数 $f$ 的 Hardy–Littlewood 极大函数指$$Mf(x):=\underset{r\in {\mathbb{R}}_{+}}{\sup }\frac{1}{m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|f(y)|\mathrm{d}y,$$其中 $m(E)$ 表示 ${\mathbb{R}}^d$ 中子集 $E$ 的 Lebesgue 测度, $B_r(x)$ 表示中心在 $x$、半径为 $r$ 的开球.

值得注意的是, 定义并不能显然保证 $Mf$ 几乎处处有限. 事实上, 这是下文极大定理 (定理 2.2) 的推论.

2性质

命题 2.1. $Mf$ 为下半连续函数. 换言之, 对 $A\in \mathbb{R}$, $\{Mf>A\}=\{x\in {\mathbb{R}}^d\mid Mf(x)>A\}$ 为开集.

证明. 如 $x\in {\mathbb{R}}^d$ 满足 $Mf(x)>A$, 则存在 $r\in {\mathbb{R}}_{+}$ 使得$$\frac{1}{m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|f(y)|\mathrm{d}y>A.$$取 $\delta >0$ 使得上式左边大于 $(1+\delta {)}^{d}A$. 则对 $x^{\prime }\in B_{\delta r}(x)$, $$\frac{1}{m(B_{(1+\delta )r}(x^{\prime }))}{\int }_{B_{(1+\delta )r}(x^{\prime })}|f(y)|\mathrm{d}y\ge \frac{1}{(1+\delta {)}^{d}m(B_r(x))}{\int }_{B_r(x)}|f(y)|\mathrm{d}y>A,$$从而 $Mf(x^{\prime })>A$. 所以 $\{Mf>A\}$ 为开集.

$\square$

$L^1$ 估计

定理 2.2 (极大定理). 对 $A\in {\mathbb{R}}_{+}$, $$m\{Mf>A\}\le 3^d{A}^{-1}\Vert f{\Vert }_{L^1}.$$特别地, 如 $f$ 为 $L^1$ 函数 (即 $f\in L^1({\mathbb{R}}^d)$, 则 $Mf$ 为弱 $L^1$ 函数 (即 $f$ 在 Lorenz 空间 $L^{1,\infty }({\mathbb{R}}^d)$ 中).

证明. 由于 $\{Mf>A\}$ 为开集, 只需对任一紧集 $K\subset \{Mf>A\}$ 证明 $m(K)\le 3^d{A}^{-1}\Vert f{\Vert }_{L^1}$. 对任一 $x\in K$, 取 $r_x\in {\mathbb{R}}_{+}$ 使得$$\frac{1}{m(B_{r_x}(x))}{\int }_{B_{r_x}(x)}|f(y)|\mathrm{d}y>A.$$显然开球族 $\{B_{r_x}(x){\}}_{x\in K}$ 覆盖 $K$. 故由 Vitali 覆盖引理, 存在 $x_1,\dots ,x_n\in K$ 使得 $\{B_{r_i}(x_i){\}}_{i=1}^n$ 两两不交, 且 $\{B_{3r_i}(x_i){\}}_{i=1}^n$ 覆盖 $K$, 其中 $r_i=r_{x_i}$. 于是$$m(K)\le \sum _{i=1}^n{B}_{3r_i}(x_i)=3^d\sum _{i=1}^n{B}_{r_i}(x_i)\le 3^d{A}^{-1}\sum _{i=1}^n{\int }_{B_{r_i}(x_i)}|f(y)|\mathrm{d}y\le 3^d{A}^{-1}\Vert f{\Vert }_{L^1}.$$$\square$

$L^p$ 估计

定理 2.3 ($L^p$ 估计). 设 $1<p\le \infty$. 存在仅依赖于 $p,d$ 的常数 $C_p\in {\mathbb{R}}_{+}$ 使得$$\Vert Mf{\Vert }_{L^p}\le C_{p,d}\Vert f{\Vert }_{L^p}.$$

关于这一定理, 我们提供两种证明方式.

证明. (插值) 根据定义显然可以观察到 $M$ 是一个 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 上的次线性算子. 定义同时给出$$\Vert Mf{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_{\infty },$$说明 $M$ 是强 $(\infty ,\infty )$ 型. 而极大定理 (定理 2.2) 说明 $M$ 是弱 $(1,1)$ 型. 因此 Marcinkiewicz 插值定理说明 $M$ 是强 $(p,p)$ 型.

$\square$

证明. (构造) 对于任意 $f\in L^p$, Cavalieri 原理说明$$\Vert f{\Vert }_p={\left(p{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}|\{x\in {\mathbb{R}}^d:|f(x)|>\alpha \}|d\alpha \right)}^{1/p}.$$考虑将 $f$ 写作 $f=f{1}_{|f|\le \frac{\alpha }{2}}+f{1}_{|f|\ge \frac{\alpha }{2}}=:f_1+f_2$. 注意到 $f_1\in L^{\infty }$ 而 $f_2\in L^1$, 这也是我们构造的目的. $M$ 的次线性给出了$$M(f)(x)\le M(f_1)(x)+M(f_2)(x),$$所以 $\{x\in {\mathbb{R}}^d:|Mf(x)|>\alpha \}\subset \{x\in {\mathbb{R}}^d:|M{f}_1(x)|>\frac{\alpha }{2}\}\cup \{x\in {\mathbb{R}}^d:|M{f}_2(x)|>\frac{\alpha }{2}\}$. 而注意到 $\Vert Mf{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_{\infty }$, 这说明$$\left|\left\{x\in {\mathbb{R}}^d:|M{f}_1(x)|>\frac{\alpha }{2}\right\}\right|=0.$$因此, 我们得到$$\begin{array}{rl}\Vert Mf{\Vert }_p^p& =p{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}|\{x\in {\mathbb{R}}^d:|f(x)|>\alpha \}|d\alpha \\ & \le p{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}\left|\left\{x\in {\mathbb{R}}^d:|M{f}_2(x)|>\frac{\alpha }{2}\right\}\right|d\alpha \\ & \le 3^{d}p{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}\frac{2}{\alpha }\Vert f{1}_{|f|\ge \alpha /2}{\Vert }_{1}d\alpha \\ & =2\cdot 3^{d}p{\int }_{{\mathbb{R}}^d}|f(x)|\left({\int }_0^{2|f(x)|}{\alpha }^{p-2}\mathrm{d}\alpha \right)\mathrm{d}x\\ & =2^p{3}^d\frac{p}{p-1}\Vert f{\Vert }_p^p.\end{array}$$

$\square$

事实上, 这种证明方式也是 Marcinkiewicz 插值定理的证明思想之一.

注 2.4. 事实上, Elias Stein 证明了一个极令人惊讶的结论, 即定理 2.3 中的不等式中的控制常数可以被加强为与维数 $d$ 无关 [Stein 1982].

3参考文献

•	Elias M. Stein (1982). “The development of square functions in the work of A. Zygmund”. Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 7 (2), 359–376. (doi)

4相关概念

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Vitali 覆盖

术语翻译

Hardy–Littlewood 极大函数 • 英文 Hardy–Littlewood maximal function • 法文 fonction maximale de Hardy–Littlewood