Lebesgue 积分

Lebesgue 积分是一种性质很好的积分理论, 由法国数学家 Henri Lebesgue 提出. 它对一般测度空间有定义, 且在 Euclid 空间上是 Riemann 积分的推广. 它相较其它积分理论主要的好处是可积函数构成 Banach 空间.

1定义

下设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间.

定义 1.1 (非负简单函数及其积分). $X$ 上非负简单函数指的是其可测集的指示函数的非负有限线性组合, 即形如 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{1}_{E_i}$ 的函数, 其中各 $a_i$ 为非负实数, 各 $E_i$ 为 $X$ 中可测集, $1_{E_i}$ 是 $E_i$ 的指示函数.

非负简单函数 $s={\sum }_{i=1}^n{a}_i{1}_{E_i}$ 的 Lebesgue 积分定义为$${\int }_{X}s\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (E_i)$$这里约定 $0\cdot \infty =0$. 由测度的加性, 可以验证这个和式的值只和 $s$ 有关, 和它如何写成指示函数的线性组合无关. 无歧义时, 可省去下标 $X$、符号 $\mathrm{d}\mu$.

定义 1.2 (非负可测函数及其积分). $X$ 上非负可测函数指的是从 $X$ 到 $[0,+\infty ]$ 的可测函数. 非负可测函数 $f$ 的 Lebesgue 积分定义为$${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu =\sup \left\{{\int }_{X}s\mathrm{d}\mu |\text{s 是非负简单函数, s≤f}\right\},$$取值在 $[0,+\infty ]$. 如 ${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu <+\infty$, 则称 $f$ 为 Lebesgue 可积, 或简称可积. 无歧义时, 可省去下标 $X$、符号 $\mathrm{d}\mu$.

定义 1.3 (可积实值函数及其积分). 设 $f:X\to \mathbb{R}$ 是可测函数, 记 $f_{+}=\sup \{f,0\}$, $f_{-}=\sup \{-f,0\}$, 则 $f_{+}$ 和 $f_{-}$ 都是非负可测函数, $f=f_{+}-f_{-}$. 称 $f$ 为 Lebesgue 可积, 或简称可积, 指的是 $f_{+}$ 和 $f_{-}$ 都在定义 1.2 的意义下可积. 此时 $f$ 的 Lebesgue 积分定义为$${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu ={\int }_X{f}_{+}\mathrm{d}\mu -{\int }_X{f}_{-}\mathrm{d}\mu .$$无歧义时, 可省去下标 $X$、符号 $\mathrm{d}\mu$.

注意到, 上面几个定义在重合处一致.

定义 1.4 (可积向量值函数及其积分). 设 $V$ 是有限维 $\mathbb{R}$-向量空间 (比如 $\mathbb{C}$), $f:X\to V$ 是可测函数. 取 $V$ 的一组基 $v_1,\dots ,v_n$, 并写 $f={\sum }_{i=1}^n{f}_i{v}_i$. 称 $f$ 为 Lebesgue 可积, 或简称可积, 指的是各 $f_i$ 都在定义 1.3 的意义下可积. 此时 $f$ 的 Lebesgue 积分定义为$${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^n\left({\int }_X{f}_i\mathrm{d}\mu \right)\cdot v_i.$$无歧义时, 可省去下标 $X$、符号 $\mathrm{d}\mu$. 由以下命题 3.2、3.5, 它和基的选取无关.

2例子

•	典型的情况是 $X={\mathbb{R}}^n$, $\mu$ 为 Lebesgue 测度. 此时如果 $f$ 是 Riemann 可积函数, 则它也 Lebesgue 可积, 且其 Lebesgue 积分等于 Riemann 积分. 有时也用 Lebesgue 积分一词指代这种情形的 Lebesgue 积分.

•	当 $\mu$ 为计数测度时, Lebesgue 积分就是求和.

3性质

与前文相同, 设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是测度空间.

命题 3.1 (单调). 设 $f,g$ 是 $X$ 上非负可测函数或实值可积函数, 满足 $f\le g$ 几乎处处成立. 则 $\int f\le \int g$. 特别地, 如 $f$ 和 $g$ 几乎处处相等, 则 $\int f=\int g$.

证明. 依次按定义 1.1、1.2、1.3 验证即可.

$\square$

命题 3.2 (数乘). 设 $f$ 是 $X$ 上非负可测函数, $a$ 是非负实数, 或者 $f$ 是 $X$ 上实值可积函数, $a$ 是实数. 则 $\int af=a\int f$.

证明. 依次按定义 1.1、1.2、1.3 验证即可.

$\square$

引理 3.3. 设 $f$ 是非负可测函数. 对正整数 $n$, 令$${\phi }_n(x)=\{\begin{array}{ll}n,& f(x)\ge n;\\ k{2}^{-n},& k{2}^{-n}\le f(x)<(k+1)2^{-n},k\in {\mathbb{N}}_{<n{2}^n}.\end{array}$$则 ${\phi }_1\le {\phi }_2\le \cdots \le f$, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{\phi }_n=f$.

证明. 根据定义不难验证, 如果 $f(x)<n$, 则 $0\le f-{\phi }_n\le 2^{-n}$.

$\square$

定理 3.4 (单调收敛定理). 设 $f;f_1,f_2,\cdots$ 是非负可测函数, 满足 $f_k\le f_{k+1}$ 对任何正整数 $k$ 成立. 如果 ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n=f$, 则$$\int f=\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n.$$

证明. 首先, $(\int f_n)$ 是单调递增的序列, 且 $\int f_n\le \int f$, 故上述序列有极限, 且 $\lim \int f_n\le \int f$. 为了证明反向的不等式, 任取简单函数 $\varphi$ 满足 $0\le \varphi \le f$. 令$$E_n=\{x\in X\mid f_n(x)\ge \alpha \varphi (x)\}$$其中 $\alpha \in (0,1)$. 则 $(E_n)$ 是一列递增的集合, 满足 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n=X$. 这时 $\int f_n\ge {\int }_{E_n}{f}_n\ge \alpha {\int }_{E_n}\varphi$. 注意到 $A\mapsto {\int }_A\varphi$ 是 $(X,\mathcal{M})$ 上的测度, 记为 $\nu$, 则$$\lim {\int }_{E_n}\varphi =\lim \nu (E_n)=\nu (X)=\int \varphi$$也就是 $\lim \int f_n\ge \alpha \int \varphi$. 令 $\alpha \to 1^{-}$, $\varphi$ 取上确界, 得 $\lim \int f_n\ge \int f$.

$\square$

结合引理 3.3 和单调收敛定理, 可以构造一系列递增简单函数趋于可测函数, 它们的积分也趋于可测函数的积分.

命题 3.5 (加性). 设 $f_1,f_2,\dots$ 是 $X$ 上非负可测函数, $f={\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k$. 则$$\int f=\sum _{k=1}^{\infty }\int f_k.$$

证明. 对两个函数 $f_1,f_2$, 根据以上讨论, 可以构造递增的简单函数序列 $({\varphi }_n),({\psi }_n)$ 使得它们各自趋于 $f_1,f_2$. 这样 $({\varphi }_n+{\psi }_n)$ 递增趋于 $f_1+f_2$. 根据单调收敛定理: $$\int (f_1+f_2)=\lim \int ({\varphi }_n+{\psi }_n)=\lim \int {\varphi }_n+\lim \int {\psi }_n=\int f_1+\int f_2$$对于有限个函数相加, 只需运用数学归纳法. 对可数个函数, 对$$\int \sum _{k=1}^n{f}_k=\sum _{k=1}^n\int f_k$$使用单调收敛定理即可.

$\square$

引理 3.6 (Fatou 引理). 设 $f_1,f_2,\cdots$ 是非负可测函数, 则$$\int \mathrm{liminf}{f}_n\le \mathrm{liminf}\int f_n.$$

证明. 对任意 $k\ge 1$, 有 ${\inf }_{n\ge k}{f}_n\le f_j,j\ge k$. 故 $\int {\inf }_{n\ge k}{f}_n\le \int f_j,j\ge k$. 在右边取下确界: $\int {\inf }_{n\ge k}{f}_n\le {\inf }_{j\ge k}\int f_j$. 令 $k\to \infty$ 得$$\int \mathrm{liminf}{f}_n=\underset{k\to \infty }{\lim }\int \underset{n\ge k}{\inf }{f}_n\le \underset{k\to \infty }{\lim }\underset{j\ge k}{\inf }\int f_j=\mathrm{liminf}\int f_n.$$$\square$

定理 3.7 (控制收敛定理). 设 $(f_n{)}_{n\ge 1}$ 是 $L^1(X)$ 中的序列, 满足 $f_n\to fa.e.$, 且有 $g\in L^1(X)$ 使得 $|f_n|\le g$, 则 $f\in L^1(X)$ 且$$\int f=\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_n.$$

证明. 首先, 条件不难得出 $|f|\le ga.e.$, 故 $f\in L^1(X)$. 其次, 条件表示 $g+f_n\ge 0,g-f_n\ge 0a.e.$, 故由引理 3.6: $$\begin{gathered} \int g+\int f\le \mathrm{liminf}\int (g+f_n)=\int g+\mathrm{liminf}\int f_n \\ \int g-\int f\le \mathrm{liminf}\int (g-f_n)=\int g-\mathrm{limsup}\int f_n \end{gathered}$$也就同时得到 $\int f\le \mathrm{liminf}\int f_n$ 和 $\int f\ge \mathrm{limsup}\int f_n$. 故 $\int f=\lim \int f_n$.

$\square$

命题 3.8. 设 $(Y,\mathcal{N},\nu )$ 是测度空间, $F:X\to Y$ 是可测映射, $\nu =F_{\ast }\mu$. 设 $g$ 是 $Y$ 上非负可测函数或可积函数. 则$${\int }_X(g\circ F)\mathrm{d}\mu ={\int }_{Y}g\mathrm{d}\nu .$$

4相关概念

•	微积分基本定理
•	Riemann 积分
•	Bochner 积分
•	Pettis 积分

术语翻译

Lebesgue 积分 • 英文 Lebesgue integral • 德文 Lebesgue-Integral • 法文 intégrale de Lebesgue