Banach 空间

Banach 空间是带有完备范数向量空间. 换言之, Banach 空间是一个向量空间, 其中的向量都具有长度, 并且 Cauchy 列都收敛.

有限维向量空间上的范数总是完备的. 因此, 带有范数的有限维向量空间都是 Banach 空间. 但这种情形太简单, 人们更感兴趣的是无限维的 Banach 空间.

一类典型的 Banach 空间是 空间. 大致地说, 空间是某个测度空间 (例如 中的可测集) 上所有函数的空间, 其范数定义为其中 .

1定义

定义 1.1 (范数). 是一个赋范域 (例如 ), 设 -向量空间. 则 上的一个范数是指一个映射满足以下性质:

(数乘) 对任意 , 有

(三角不等式) 对任意 , 有

(正性) 如果 满足 , 那么 .

定义 1.2 (范数诱导的拓扑). 是一个赋范域 (例如 ), 设 -向量空间, 设 上的一个范数 (定义 1.1). 则范数 诱导的 上的拓扑是由距离函数诱导的拓扑.

定义 1.3 (完备性). 是一个赋范域 (例如 ), 设 -向量空间, 设 上的一个范数 (定义 1.1). 称为关于范数 完备, 如果

对任意 Cauchy 序列 , 存在 , 使得序列 收敛.

定义 1.4 (Banach 空间). 是一个赋范域 (例如 ). 一个 上的 Banach 空间是一个二元组 , 其中

是一个 -向量空间;

上的范数 (定义 1.1),

使得

关于范数 完备 (定义 1.3).

在无歧义时, 我们也直接称 为一个 Banach 空间.

定义 1.5 (连续算子). 是两个 Banach 空间 (定义 1.4). 它们之间的一个连续算子, 或称有界算子, 是指一个线性映射 , 使得它关于 各自的范数诱导的拓扑 (定义 1.2) 是连续映射.

注 1.6 (连续算子等价于有界算子). Banach 空间之间的线性映射 是连续算子, 当且仅当存在常数 , 使得对任意 , 有

定义 1.7 (Banach 空间范畴). 是一个赋范域. 则 上所有 Banach 空间 (定义 1.4) 和它们之间的连续算子 (定义 1.5) 构成一个范畴, 称为 Banach 空间范畴, 记为 , 无歧义时也可以记为 .

注 1.8. Banach 空间范畴是拓扑向量空间范畴的满子范畴.

注 1.9 (Banach 空间的同构). 两个 Banach 空间在 Banach 空间范畴中同构, 并不意味着它们具有相同的范数. 事实上, Banach 空间同构当且仅当它们作为拓扑向量空间是同构的.

具体地说, Banach 空间之间的线性映射 是同构, 当且仅当存在常数 , 使得对任意 , 有此时, 也说 具有等价范数.

2例子

空间

空间

Sobolev 空间

术语翻译

Banach 空间英文 Banach space德文 Banachraum, banachscher Raum法文 espace de Banach

范数英文 norm德文 Norm (f)法文 norme (f)拉丁文 norma (f)古希腊文 γνώμων (m)

赋范 (形容词)英文 normed德文 normiert法文 normé拉丁文 normatus古希腊文 ἐγνωμονμένος

算子英文 operator德文 Operator (m)法文 operateur (m)拉丁文 operator (m)古希腊文 τελεστής (m)