Hahn–Banach 定理

Hahn–Banach 定理是泛函分析中基本且核心的定理, 它解决了某些线性空间上线性泛函的延拓问题. 从几何上来看, 这表现为凸集的分离性质, 而这是研究 Banach 空间中凸集有关的几何学的起点.

1叙述与证明

先叙述并证明实线性空间的版本. 在证明中需要使用 Zorn 引理.

定理 1.1 (实 Hahn–Banach 定理). 设 $X$ 是实线性空间, $p$ 是定义在 $X$ 上的次线性泛函. 设 $X_0$ 是 $X$ 的线性子空间, $f_0$ 是 $X_0$ 上的实线性泛函, 满足对任意 $x\in X_0$, 有 $f_0(x)\le p(x)$. 则 $X$ 上存在实线性泛函 $f$ 满足:

•	对任意 $x\in X$, 有 $f(x)\le p(x)$.

•	对任意 $x\in X_0$, 有 $f(x)=f_0(x)$.

证明. 为了便于理解证明的思想, 先在一个特殊的空间上进行延拓, 即对于 $y\in X\setminus X_0$, 考虑它 “加入” $X_0$ 之后张成的线性空间: $$X_1=\{x+\alpha y\mid x\in X_0,\alpha \in \mathbb{R}\}$$如果用 $f_1$ 表示延拓以后的线性泛函, 则必有$$f_1(x+\alpha y)=f_0(x)+\alpha f_1(y)$$如此只需决定 $f_1(y)$ 的值. 控制条件要求$$f_1(x+\alpha y)\le p(x+\alpha y)$$对 $\alpha \ne 0$, 两边同时除以 $|\alpha |$, 并注意 $x/|\alpha |\in X_0$, 得到$$\{\begin{array}{rl}{f}_1(y-z)& \le p(y-z),\forall z\in X_0\\ f_1(-y+w)& \le p(-y+w),\forall w\in X_0\end{array}$$或者$$f_0(w)-p(-y+w)\le f_1(y)\le f_0(z)+p(y-z),\forall z,w\in X_0$$因为对 $z,w\in X_0$ 有$$\begin{array}{rl}{f}_0(w)-f_0(z)& =f_0(w-z)\\ & \le p(w-z)\\ & \le p(w-y)+p(y-z)\end{array}$$即$$f_0(w)-p(-y+w)\le f_0(z)+p(y-z)$$所以这样的 $f_1(y)$ 确实可以选取.

如果 $X\setminus X_0$ 是有限集或者可数集张成的, 则接下来的工作将是显然的: 只需重复上面的操作. 对于不是这样的情况, 需要使用 Zorn 引理. 令 $F$ 表示满足下面三个条件的对子 $(X_{\Delta },f_{\Delta })$ 的集合:

•	$X_0\subset X_{\Delta }\subset X$
•	$f_{\Delta }(x)=f_0(x),\forall x\in X_0$
•	$f_{\Delta }(x)\le p(x),\forall x\in X_{\Delta }$

在 $F$ 中引入序关系: $(X_{{\Delta }_1},f_{{\Delta }_1})⪯(X_{{\Delta }_2},f_{{\Delta }_2})$ 的意思是$$X_{{\Delta }_1}\subset X_{{\Delta }_2},f_{{\Delta }_2}(x)=f_{{\Delta }_1}(x),\forall x\in X_{{\Delta }_1}$$$F$ 在此意义下当然是一个偏序集. 取 $F$ 的全序子集 $M$, 并令$$X_M=\bigcup _{(X_{\Delta },f_{\Delta })\in M}{X}_{\Delta }$$以及 $f_M(x)=f_{\Delta }(x)$ 分别在 $x\in X_{\Delta }$ 时成立. 易验证 $X_M$ 是 $X$ 的包含 $X_0$ 的子空间, 且 $f_M$ 是良定义的, 满足控制条件. 于是 $(X_M,f_M)\in F$ 是 $M$ 的一个上界. 根据 Zorn 引理, $F$ 存在极大元, 记为 $(X_A,f_A)$. 接下来证明 $X_A=X$. 用反证法. 若不然, 则可以选出 $y\in X\setminus X_A$. 最开始的证明告诉我们, 可以构造出$$X_B=\{x+\alpha y\mid x\in X_A,\alpha \in \mathbb{R}\}$$并有对应的线性泛函 $f_B$ 使得 $(X_B,f_B)\in F$. 显然 $(X_A,f_A)⪯(X_B,f_B)$, 且它们不相等. 这与极大性矛盾. 从而 $X_A=X$, 得到所欲证的.

$\square$

这个定理可以无困难地推广到复线性空间上去.

定理 1.2 (复 Hahn–Banach 定理). 设 $X$ 是复线性空间, $p$ 是定义在 $X$ 上的半范数. 设 $X_0$ 是 $X$ 的线性子空间, $f_0$ 是 $X_0$ 上的复线性泛函, 满足对任意 $x\in X_0$, 有 $|f_0(x)|\le p(x)$. 则 $X$ 上存在一个实线性泛函 $f$ 满足:

•	对任意 $x\in X$, 有 $|f(x)|\le p(x)$.

•	对任意 $x\in X_0$, 有 $f(x)=f_0(x)$.

证明概要. 复线性空间总可以被视为实线性空间. 在此条件下, 对 $g_0(x)=\mathrm{Re}{f}_0(x)$ 使用实 Hahn–Banach 定理, 得到实线性泛函 $g$. 然后令$$f(x)=g(x)-\mathrm{i}g(\mathrm{i}x)$$

$\square$

2应用

如果线性空间上有范数, 则可以得到更强的结果.

定理 2.1 (赋范线性空间上的 Hahn–Banach 定理). 设 $X$ 是赋范线性空间, $X_0$ 是其线性子空间, $f_0$ 是 $X_0$ 上的有界线性泛函. 则存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ 满足

•	对任意 $x\in X_0$, 有 $f(x)=f_0(x)$.

•	$\Vert f\Vert =\Vert f_0\Vert$.

接下来讨论这定理在几何上的应用. 在一般的线性空间中, 可以定义超平面, 它是熟悉的三维空间中平面的推广.

定义 2.2 (超平面). 线性空间 $X$ 的一个超平面 $H_f^r$ 是指$$H_f^r=\{x\in X\mid f(x)=r\}$$其中 $f$ 是 $X$ 上的非零线性泛函, $r\in \mathbb{R}$.

定义 2.3 (分离). 超平面 $H_f^r$ 分离线性空间中的子集 $E,F$ 是指$$\forall x\in E,f(x)\le r;\forall x\in F,f(x)\ge r$$两个不等号可以交换.

我们可以证明如下凸集分离定理, 它常被视为 Hahn–Banach 定理的一种几何形式:

定理 2.4 (凸集分离定理). 设 $E,F$ 是赋范线性空间中两个互不相交的非空凸集, 其中至少有一个存在内点. 则存在 $r\in \mathbb{R}$ 和非零连续线性泛函 $f$, 使得超平面 $H_f^r$ 分离 $E$ 和 $F$.

除此以外, Hahn–Banach 定理的各种版本和推论还活跃在分析的许多领域中.

3相关概念

术语翻译

Hahn–Banach 定理 • 英文 Hahn–Banach theorem • 德文 Satz von Hahn–Banach • 法文 théorème de Hahn–Banach

凸集分离定理 • 英文 hyperplane separation theorem