Zorn 引理

Zorn 引理是说, 如果一个偏序集的每个全序子集都有上界, 那么这个偏序集就有极大元.

Zorn 引理常常用来说明极大对象的存在性. 例如, 向量空间的基是极大的线性无关子集, Zorn 引理可以说明每个向量空间都有基. 再例如, Zorn 引理可以用来证明 Krull 定理: 一个环的任何真理想都包含于一个极大理想.

在 ZF 集合论中, Zorn 引理与选择公理等价. 因此, 在主流数学所使用的 ZFC 集合论中, Zorn 引理是真命题.

在构造主义数学中, 选择公理蕴涵 Zorn 引理, 而 Zorn 引理需要加上排中律才能推出选择公理.

1叙述与证明

定义 1.1 (链、上界、极大元). 设 $(X,\le )$ 是偏序集.

•	$X$ 中的链是指子集 $Y\subset X$, 使得 $(Y,\le )$ 是全序集.
•	子集 $Y\subset X$ 的上界是指元素 $x\in X$, 使得对任意 $y\in Y$, 都有 $y\le x$.
•	$X$ 的极大元是指元素 $x\in X$, 使得如果 $y\in X$ 且 $x\le y$, 那么 $y=x$.

定义 1.2 (Zorn 引理). Zorn 引理是指下面的命题:

•	设 $X$ 是偏序集. 假设 $X$ 的每个链 (定义 1.1) 都有上界 (定义 1.1). 则 $X$ 有极大元 (定义 1.1).

定理 1.3. 假设选择公理成立. 则 Zorn 引理 (定义 1.2) 成立.

证明. 因为选择公理成立, 所以良序原理成立 (证明见该条目). 因此, 在 $X$ 上存在一个良序$$X=\{x_{\xi }\mid \xi <\alpha \},$$其中 $\alpha$ 是某个序数. 我们用超限归纳法, 归纳定义序列 $\{A_{\xi }{\}}_{\xi \le \alpha }$ 如下: $$\begin{array}{rl}{A}_0& =\varnothing ,\\ A_{\xi +1}& =\{\begin{array}{ll}{A}_{\xi }\cup \{x_{\xi }\},& \text{若 }{A}_{\xi }\cup \{x_{\xi }\}\text{ 是链},\\ A_{\xi },& \text{若不然},\end{array}\\ A_{\lambda }& ={\bigcup }_{\xi <\lambda }{A}_{\xi },\text{若 }\lambda \text{ 是极限序数}.\end{array}$$则 $A_{\alpha }$ 是 $X$ 中的一个极大的链. 因此, 它的上界是 $X$ 的极大元.

$\square$

定理 1.4. 假设 Zorn 引理 (定义 1.2) 成立. 则选择公理成立:

•	给定一族非空集合 $\{X_i\mid i\in I\}$, 存在一个映射 $f:I\to {\bigcup }_{i\in I}{X}_i$, 使得对任意 $i\in I$, 有 $f(i)\in X_i$.

证明. 记 $X$ 是所有二元组 $(J,f)$ 构成的偏序集, 其中 $J\subset I$, 而 $f:J\to {\bigcup }_{i\in I}{X}_i$ 是一个映射, 使得对任意 $i\in J$, 有 $f(i)\in X_i$. 定义 $(J,f)\le (J^{\prime },f^{\prime })$ 当且仅当 $J\subset J^{\prime }$ 且 $f=f^{\prime }{|}_J$. 则 $X$ 的每个链都有上界.

由 Zorn 引理, $X$ 有一个极大元 $(J,f)$. 如果存在 $i_0\in I\setminus J$, 那么令 $J^{\prime }=J\cup \{i_0\}$, 并令 $f^{\prime }:J^{\prime }\to {\bigcup }_{i\in I}X$, 使得 $f^{\prime }{|}_J=f$, 并且 $f^{\prime }(i_0)\in X_{i_0}$. 则 $(J,f)\le (J^{\prime },f^{\prime })$, 这与 $(J,f)$ 的极大性矛盾. 由反证法 (这使用了排中律), 知 $J=I$, 从而 $f$ 就是我们要的映射.

$\square$

2推论

•	基存在定理
•	Krull 定理
•	Tikhonov 定理
•	Hahn–Banach 定理
•	代数闭包的存在性

3相关概念

术语翻译

Zorn 引理 • 英文 Zorn’s lemma • 德文 Lemma von Zorn • 法文 lemme de Zorn