序数

序数是自然数的推广, 用来给集合的元素按顺序进行编号, 这里的集合可能是很大的无穷集. 所有序数从小到大排列为$$\begin{array}{c}0,1,2,\dots ,\omega ,\omega +1,\dots ,2\omega ,2\omega +1,\dots ,\\ {\omega }^2,{\omega }^2+1,\dots ,{\omega }^2+\omega ,\dots ,{\omega }^{\omega },\dots \dots \end{array}$$其中 $\omega$ 是最小无穷序数, 即大于所有自然数的最小序数.

1定义

例 1.1. 定义序数的关键想法是, 序数可以和良序集对应起来. 例如,

•	良序集 $n=\{0,\dots ,n-1\}$ 对应序数 $n$.
•	良序集 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ 对应序数 $\omega$.
•	良序集 $\{0,1,2,\dots ,\omega \}$ 对应序数 $\omega +1$.
•	良序集 $\{0,1,2,\dots ,\omega ,\omega +1\}$ 对应序数 $\omega +2$,

如此等等.

因此, 我们可以定义序数为良序集的同构类. 但这样做的缺点是, 每个序数将会成为一个真类, 这会带来一些麻烦. 例如, 我们不能讨论由一些序数构成的集合.

在集合论中, 我们通常采用以下定义, 而避免上述问题. 这个定义将序数 $\alpha$ 定义为所有小于 $\alpha$ 的序数构成的良序集, 它是一个特定的集合, 而不是一个等价类.

定义 1.2 (序数). 序数是指集合 $\alpha$, 满足如下条件:

•	$(\alpha ,\in )$ 是良序集.
•	$\alpha$ 是传递集合, 即如果 $\gamma \in \beta$ 且 $\beta \in \alpha$, 那么 $\gamma \in \alpha$.

注 1.3. 在 ZF 集合论中, 由于正则公理, 以上定义第一条可减弱为 “$(\alpha ,\in )$ 是全序集”.

例如, 如果序数 $\alpha$ 不是空集, 那么传递性表明 $0=\varnothing \in \alpha$. 类似可以说明, 如果 $\alpha$ 有至少两个元素, 那么 $1=\{\varnothing \}\in \alpha$.

可以验证例 1.1 中的所有例子都满足定义 1.2.

定义 1.4 (后继, 极限序数). 序数 $\alpha$ 的后继是序数$$\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}.$$如果序数 $\lambda >0$ 不是任何序数的后继, 就说 $\lambda$ 是极限序数.

这样例 1.1 中, $n$, $\omega +1$, $\omega +2$ 是后继序数, $\omega$ 是极限序数.

定义 1.5 (序数的类). 注意到序数的定义条件可以由一阶语言写出, 所有序数构成一个类, 记作 $\mathbf{Ord}$.

2性质

基本性质

下面的命题保证了一开始提到的直观.

命题 2.1. 对任意良序集 $(X,<)$, 存在序数 $\alpha$, 使得 $(X,<)$ 和 $(\alpha ,\in )$ 之间有保序的双射.

序数还有一些好的性质, 罗列如下.

命题 2.2.

•	任意序数 $\alpha$ 的元素皆为序数.
•	所有序数构成的类是良序类.
•	对任意一族序数 $\{{\alpha }_i,i\in I\}$, 它们的并也是序数, 是包含它们的最小序数.

序数运算

在序数的类 $\mathbf{Ord}$ 上可以定义加法, 乘法和幂运算. 序数的运算可以由超限归纳构造给出.

定义 2.3 (序数加法). 序数加法 $\alpha +\beta$ 定义如下:

•	$\alpha +0:=\alpha$.
•	对后继序数 $\beta +1$, $\alpha +(\beta +1):=(\alpha +\beta )+1$.
•	对极限序数 $\beta$, $$\alpha +\beta =\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma ).$$

定义 2.4 (序数乘法). 序数乘法 $\alpha \cdot \beta$ 定义如下:

•	$\alpha \cdot 0:=0$.
•	对后继序数 $\beta +1$, $\alpha \cdot (\beta +1):=(\alpha \cdot \beta )+\alpha$.
•	对极限序数 $\beta$, $$\alpha \cdot \beta :=\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma ).$$

定义 2.5 (序数幂). 序数幂 ${\alpha }^{\beta }$ 定义如下:

•	${\alpha }^0:=1$.
•	对后继序数 $\beta +1$, ${\alpha }^{(\beta +1)}:=({\alpha }^{\beta })\cdot \alpha$.
•	对极限序数 $\beta$, $${\alpha }^{\beta }=\bigcup _{\gamma <\beta }{\alpha }^{\gamma }.$$

序数的运算对应了良序集的相应操作.

命题 2.6. 两个良序集的不交并 (两个良序集内部保持原来的序, 第一个良序集中所有元素小于第二个良序集中元素) 得到的良序集的序数是二者序数之和; 两个良序集的 Descartes 积, 赋予字典序得到的良序集的序数是二者序数之积.

然而序数的幂不对应幂集的序数, 即序数与基数二者的幂运算不相容. 例如序数运算 ${\omega }^{\omega }={\cup }_n{\omega }^n$ 得到的集合的势是 ${\aleph }_0$, 然而幂集 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ 之势为 $2^{{\aleph }_0}$.

3相关概念

•	基数
•	良序集
•	共尾类
•	Nim 数
•	超现实数

术语翻译

序数 • 英文 ordinal number • 德文 Ordinalzahl (f) • 法文 nombre ordinal (m) • 拉丁文 numerus ordinalis (m)