基数

基数是自然数的推广, 它是一种特殊的集合, 用来描述集合的大小. 所有自然数都是基数, 它们描述了有限集的大小. 还有很多不同大小的无限基数, 它们描述了无限集的大小.

所有基数可以从小到大排列为$$0,1,2,\dots ,n,\dots ;{\aleph }_0,{\aleph }_1,{\aleph }_2,\dots ,{\aleph }_{\alpha },\dots ,$$其中 $n$ 取遍所有自然数, $\alpha$ 取遍所有序数, ${\aleph }_{\alpha }$ 是第 $\alpha$ 个 $\aleph$ 数.

1定义

直观地说, 基数应该定义为集合的同构类, 也就是说:

•	每个集合都有一个对应的基数, 作为其大小.
•	如果两个集合一样大, 也就是说, 它们之间存在双射, 那么它们对应的基数相同.

这样, 我们可以定义集合 $X$ 对应的基数为所有与 $X$ 同样大的集合的全体. 但这样做的缺点是, 每个基数将会成为一个真类, 这会带来一些麻烦. 例如, 我们不能讨论由一些基数构成的集合.

在集合论中, 我们通常采用以下定义, 而避免上述问题.

定义 1.1 (基数). 如果一个序数不能和比它小的序数建立双射, 那么就称它为基数.

和序数类似, 基数也大体分为两类:

定义 1.2 (后继基数与极限基数). 对序数 $\alpha$, 以 ${\alpha }^{+}$ 记大于 $\alpha$ 的最小基数, 也即大于 $\alpha$、与 $\alpha$ 之间没有双射的序数中最小者. 这样的基数称为后继基数, 不是后继基数的称为极限基数.

2例子

例 2.1.

•	自然数都是基数, 自然数集也是基数. 之后我们会看到自然数集是 ${\aleph }_0$.
•	除上述基数外的最小基数记为 ${\aleph }_1$, 称为最小不可数基数.

3性质

我们有下面的命题保证基数的定义确实符合直观.

命题 3.1 (势). 对任意集合 $X$, 存在唯一的基数 $\alpha$, 使得存在双射 $\alpha \to X$ ($\alpha$ 也就是满足此条件的最小序数). 这个 $\alpha$ 即称为 $X$ 的势, 记为 $|X|$.

此外, 所有的基数可以排成一列, 其指标为所有序数.

命题 3.2 (基数的类). 记所有大于等于基数 $\kappa$ 的基数构成的类为 ${\mathbf{Card}}_{\ge \kappa }$, 所有序数构成的类为 $\mathbf{Ord}$. 则 “$\in$” 在这两个类上定义了序关系, 且存在唯一的保序双射 $\mathbf{Ord}\to {\mathbf{Card}}_{\ge \kappa }$. $\kappa =\omega$ ($\omega$ 为自然数集) 时, 序数 $\alpha$ 在此映射下的像记作 ${\aleph }_{\alpha }$

注 3.3 (关于选择公理). 3.1 中 $|X|$ 的存在性需要选择公理保证. 然而 3.2 却不用. 下面的基数运算中加法和乘法有不需要选择公理定义的办法, 然而取幂运算却需要.

4运算

加法、乘法

基数的加法定义为 $|X|+|Y|=|X\bigsqcup Y|$, 或一般地, ${\sum }_{i\in I}|X_i|=\left|{⨆}_{i\in I}{X}_i\right|$, 其中 $\bigsqcup$ 表示无交并. 显然等号右边的确只依赖于等号左边的各基数, 而不依赖具体集合.

基数的乘法定义为 $|X||Y|=|X\times Y|$, 或一般地, ${\prod }_{i\in I}|X_i|=\left|{\prod }_{i\in I}{X}_i\right|$, 其中 $\times$ 及 $\prod$ 表示集合乘积, 即 Descartes 积. 显然等号右边的确只依赖于等号左边的各基数, 而不依赖具体集合. 由集合无交并和乘积的定义, 有 ${\sum }_{i\in I}|X|=|I|\times |X|$, 和自然数加法与乘法的关系一样. 乘法对加法的分配律也是显然的.

有限基数的加法、乘法就是自然数的加法、乘法. 而无限基数的加法、乘法则很简单:

命题 4.1. $\kappa ,\lambda$ 为无限基数. 则$$\kappa +\lambda =\kappa \lambda =\max \{\kappa ,\lambda \}.$$

证明. 不妨设 $\kappa \le \lambda$, 则$$\lambda \le \kappa +\lambda \le 2\lambda \le \kappa \lambda \le {\lambda }^2,$$所以只需证 ${\lambda }^2\le \lambda$. 设 $\lambda ={\aleph }_{\alpha }$, 我们对序数 $\alpha$ 归纳. 奠基即 ${\aleph }_0$ 情形是熟知的, 在此略去. 即便不知奠基情形, 也容易将以下证明挪用过去.

设 $\alpha >0$, 且命题对小于 $\lambda ={\aleph }_{\alpha }$ 的基数成立. 于是对每个小于 $\lambda$ 的序数 $\beta$ 都有 $|\beta {|}^2=|\beta |$. 给集合 ${\lambda }^2$ 赋序如下: $$(a,b)<(c,d)⟺\{\begin{array}{ll}\max \{a,b\}<\max \{c,d\},& 或者\\ \max \{a,b\}=\max \{c,d\},a<c,& 或者\\ \max \{a,b\}=\max \{c,d\},a=c,b<d.& \end{array}$$它无非是沿 ${\lambda }^2$ 到 ${\lambda }^3$ 的单射 $(a,b)\mapsto (\max \{a,b\},a,b)$ 从 ${\lambda }^3$ 的字典序继承得来, 所以它是良序. 只要证明此良序的序数为 $\lambda$, 就有 $|{\lambda }^2|\le \lambda$, 也就完成了证明. 显然, 形如 $(a,a)$, $a\in \lambda$ 的元素在其中共尾, 且依定义 ${\lambda }_{\le (a,a)}^2=({\lambda }_{\le a}{)}^2$. 而由于 ${\lambda }_{\le a}<\lambda$, 由归纳假设有 $|{\lambda }_{\le (a,a)}^2|=|{\lambda }_{\le a}{|}^2<\lambda$, 于是 ${\lambda }_{\le (a,a)}^2$ 的序数也小于 $\lambda$. 这样一来, ${\lambda }^2$ 的序数是 ${\lambda }_{\le (a,a)}^2$ 的序数的上确界, 也就小于等于 $\lambda$. 命题得证.

$\square$

注 4.2. 注意并没有 “一族嵌套的集合并集的基数是它们基数的上确界” 这种事情. 这就是为什么这里要用良序.

两个基数一个有限一个无限时的加法、乘法也很好算, 在此略去.

指数

基数的指数定义为 $|Y{|}^{|X|}=|Y^X|$, 其中 $Y^X$ 指 $X$ 到 $Y$ 的所有映射组成之集. 显然等号右边的确只依赖于 $|X|,|Y|$. 由集合乘积的定义可以发现 ${\prod }_{i\in I}|X|=|X{|}^{|I|}$, 和自然数乘法与指数的关系一样. 指数对乘法的分配律也是显然的.

有限基数的指数就是自然数的指数, 这里 $0^0=1$. 而无限基数的指数就麻烦了. 仅仅是最基本的 $2^{{\aleph }_0}$ 便引出与 ZFC 公理独立的连续统假设. 用力迫法可以说明, 只要基数 $\kappa$ 的共尾类大于 ${\aleph }_0$, $2^{{\aleph }_0}=\kappa$ 就与 ZFC 公理相容. 换言之, 在 ZFC 中, $2^{{\aleph }_0}$ 可能等于任一共尾类大于 ${\aleph }_0$ 的基数. 一般的指数运算寸步难行. 只有指数较大时能做一些化简:

命题 4.3. $\kappa ,\lambda$ 是基数, 满足 $\kappa$ 无穷, $2\le \lambda \le 2^{\kappa }$. 则 ${\lambda }^{\kappa }=2^{\kappa }$.

证明. $$2^{\kappa }\le {\lambda }^{\kappa }\le (2^{\kappa }{)}^{\kappa }=2^{{\kappa }^2}=2^{\kappa }.$$

$\square$

但如果连续统假设的推广成立, 即对每个无穷基数 $\kappa$ 都有 $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$, 那么指数也都能算出. 此时有

命题 4.4. 对无穷基数 $\kappa ,\lambda$, $${\lambda }^{\kappa }=\{\begin{array}{ll}\lambda ,& \kappa <\mathrm{cf}(\lambda ),\\ {\lambda }^{+},& \mathrm{cf}(\lambda )\le \kappa <\lambda ,\\ {\kappa }^{+},& \lambda \le \kappa .\end{array}$$

证明. 第三种情况就是命题 4.3. 至于前两种情况, 我们对后继基数与极限基数分别证明. $\lambda ={\lambda }^{\prime +}$ 是后继基数时, 首先 $\mathrm{cf}(\lambda )=\lambda$ (注意: 基数的共尾类意思是它作为序数的共尾类), 于是没有第二种情况, 第一种情况就是 $\kappa \le {\lambda }^{\prime }$. 此时由于 $\lambda =2^{{\lambda }^{\prime }}$, $${\lambda }^{\kappa }=(2^{{\lambda }^{\prime }}{)}^{\kappa }=2^{{\lambda }^{\prime }\kappa }=2^{{\lambda }^{\prime }}=\lambda .$$$\lambda$ 是极限基数时, 我们先看第一种情况. 取一族小于 $\lambda$ 的序数 $\{{\alpha }_i{\}}_{i\in \mathrm{cf}(\lambda )}$ 满足 ${\sup }_{i\in \mathrm{cf}(\lambda )}{\alpha }_i=\lambda$. 由于 $\lambda$ 是极限基数, ${\alpha }_i<\lambda$ 推出 ${\alpha }_i^{+}<\lambda$. 令 ${\lambda }_i={\alpha }_i^{+}$, 我们得到一族小于 $\lambda$ 的后继基数 $\{{\lambda }_i{\}}_{i\in \mathrm{cf}(\lambda )}$, 上确界为 $\lambda$. 现在由于 $\kappa <\mathrm{cf}(\lambda )$, $\kappa$ 到 $\lambda$ 的每个映射必映到某个 ${\lambda }_i$ 内, 于是由后继基数情形的结论, $$\lambda \le {\lambda }^{\kappa }\le \sum _{i\in \mathrm{cf}(\lambda )}{\lambda }_i^{\kappa }=\sum _{i\in \mathrm{cf}(\lambda )}{\lambda }_i=\lambda .$$再看第二种情况. 此时 Kőnig 不等式给出 ${\lambda }^{\kappa }>\lambda$, 再用命题 4.3 即得$${\lambda }^{+}\le {\lambda }^{\kappa }\le {\lambda }^{\lambda }=2^{\lambda }={\lambda }^{+}.$$

$\square$

注 4.5. 和加法、乘法不同, 基数和序数的指数运算并不相容. ${\omega }^{\omega }$ 依定义等于 ${\sup }_{n<\omega }{\omega }^n$, 是可数的; 即 $|{\omega }^{\omega }|={\aleph }_0<{\aleph }_0^{{\aleph }_0}=|\omega {|}^{|\omega |}$.

5相关概念

•	势
•	序数
•	连续统假设

术语翻译

基数 • 英文 cardinal number • 德文 Kardinalzahl (f) • 法文 nombre cardinal • 拉丁文 numerus cardinalis • 古希腊文 πληθικὸς αριθμός