不可达基数

不可达基数, 又称强不可达基数, 顾名思义, 即是那些不可以被比它小的基数所达到的基数: 首先其共尾类 $\mathrm{cf}(\kappa )=\kappa$, 其次它也不能被幂集所达到:$$\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa .$$

一个较弱的相关概念是弱不可达基数.

1定义

定义 1.1. 一个不可数, 正则且满足$$\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa$$的基数被称为不可达基数.

定义 1.2. 一个不可数, 正则且不是后继基数的基数被称为弱不可达基数.

以下命题显然:

命题 1.3. 不可达基数是弱不可达基数. 如果承认广义连续统假设, 则反之亦然.

引理 1.4. 如果 $\text{ZFC}$ 是相容的, 且 $\kappa$ 是不可达基数, 则 $V_{\kappa }$ 是 $\text{ZFC}$ 的一个模型.

证明. 由于 $V_{\kappa }$ 是传递集合, 外延公理, 二元集公理, 并公理和选择公理显然以 $V_{\kappa }$ 作为模型. 因为 $\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa$, 知对任意 $x\in V_{\kappa }$, $\mathcal{P}(x)\in V_{\kappa }$. 且因为传递性 $\mathcal{P}(x)=y$ 验证$$V_{\kappa }\models \forall z(z\in y\leftrightarrow z\subset x),$$即幂集公理以 $V_{\kappa }$ 作为模型. 替换公理同理, 因为对于任意映射 $F$, 任意 $x\in V_{\kappa }$, 由 $\kappa$ 的正则性知 $F(x)\in V_{\kappa }$, 此 $F(x)$ 验证替换公理中的 $u$.

$\square$

2相容性

设 $I$ 是如下一阶语句:

$I=$“存在不可达基数”.

命题 2.1. 我们有$$⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC})\to \mathrm{Con}(\text{ZFC}+\neg I)$$(这等价于在 $\text{ZFC}$ 相容时有 $\text{ZFC}⊬I$), 以及$$⊬\mathrm{Con}(\text{ZFC})\to \mathrm{Con}(\text{ZFC}+I).$$换言之, 一方面 $\text{ZFC}$ 不能证明不可达基数的存在性; 另一方面, 无法说明 $I$ 与 $\text{ZFC}$ 相容.

证明. 先证第一条. 假设 $\text{ZFC}$ 相容, 那么由引理 1.4 知 $V_{\kappa }$ 也是 $\text{ZFC}$ 的一个模型. 且易证:

$V_{\kappa }\models$“$\lambda$ 是不可达基数”$⟺$ $\lambda$ 是不可达基数.

所以如果 $\text{ZFC}⊢I$, 则取出最小的不可达基数 $\kappa$, 那么 $V_{\kappa }$, 作为 $\text{ZFC}$ 的模型, 不包含一个不可达基数, 与 $\text{ZFC}⊢I$ 矛盾, 故 $\text{ZFC}⊬I$.

再证第二条. 假设 $\text{ZFC}$ 相容能够推出 $\text{ZFC}$ 与 $I$ 相容. 注意到 $\text{ZFC}+I⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC})$, 因为前者推出 $V_{\kappa }$ 是 $\text{ZFC}$ 的一个模型, 故说明 $\text{ZFC}$ 相容. 从而有$$\text{ZFC}+I⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC}+I),$$与 Gödel 第二不完备性定理矛盾.

$\square$

3宇宙公理

参见: Grothendieck 宇宙

术语翻译

不可达基数 • 英文 inaccessible cardinal • 德文 unerreichbare Kardinalzahl • 法文 cardinal inaccessible • 拉丁文 cardinalis inaccessibilis