不可达基数

不可达基数, 又称强不可达基数, 顾名思义, 即是那些不可以被比它小的基数所达到的基数: 首先其共尾类 $\mathrm{cf}(\kappa )=\kappa$, 其次它也不能被幂集所达到:$$\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa .$$

一个较弱的相关概念是弱不可达基数.

1定义

定义 1.1. 一个不可数, 正则且满足$$\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa$$的基数被称为不可达基数. 此 (对 $\kappa$ 之) 条件也被称作 ($\kappa$) 强极限.

定义 1.2. 一个不可数, 正则且不是后继基数的基数被称为弱不可达基数.

以下命题显然:

命题 1.3. 不可达基数是弱不可达基数. 如果承认广义连续统假设, 则反之亦然.

引理 1.4. 如果 $\text{ZFC}$ 是相容的, 且 $\kappa$ 是不可达基数, 则 $V_{\kappa }$ 是 $\text{ZFC}$ 的一个模型.

证明. 由于 $V_{\kappa }$ 是传递集合, 外延公理, 二元集公理, 并公理和选择公理显然以 $V_{\kappa }$ 作为模型. 因为 $\lambda <\kappa \Rightarrow 2^{\lambda }<\kappa$, 知对任意 $x\in V_{\kappa }$, $\mathcal{P}(x)\in V_{\kappa }$. 且因为传递性 $\mathcal{P}(x)=y$ 验证$$V_{\kappa }\models \forall z(z\in y\leftrightarrow z\subset x),$$即幂集公理以 $V_{\kappa }$ 作为模型. 替换公理同理, 因为对于任意映射 $F$, 任意 $x\in V_{\kappa }$, 由 $\kappa$ 的正则性知 $F(x)\in V_{\kappa }$, 此 $F(x)$ 验证替换公理中的 $u$.

$\square$

我们将上引理扩展为一个对不可达基数的等价刻画. 注意, 由于我们默认在 $\mathsf{ZFC}$ 中施行证明, 因此此定理无需假设其相容性: 如果它不相容, 那么它可以证明任何命题, 自然也能证明以下定理.

定理 1.5. $\kappa$ 是不可达基数, 当且仅当任给 $V_{\kappa }$ 幂集的子集 $X$, 我们考虑以 $X$ 为二阶常元符号在 $(V_{\kappa },\in )$ 上含参可定义的全体 $V_{\kappa }$ 的子集构成的集 $\mathrm{Def}(V_{\kappa },X)$, 它总是二阶集合论 $\mathsf{NBG}+\mathsf{AC}$ 的模型.

证明. 如果 $\kappa$ 不可达, 先来验证 $\mathrm{Def}(V_{\kappa },X)\models \mathsf{NBGC}$. 由于 $\kappa$ 强极限自然极限, 那些和 $\mathsf{ZFC}$ 相同的公理同上引理得证; 由于我们考虑了全体可定义集, 二阶概括公理模式也被自动满足, 所以我们只需验证二阶替换公理模式.

假定 $F\subseteq V_{\kappa }$ 是一个类函数, 即 $F$ 中元素均为 $V_{\kappa }$ 中集合形成的二元有序对集合, 任给 $x\in V_{\kappa }$, 须证明 $\{y\in V_{\kappa }|\exists z\in x((z,y)\in F)\}\in V_{\kappa }$. 我们考虑函数 $R={\mathrm{rank}}_{\in }(F(-)):x\to \kappa$, 由于 $x\in V_{\kappa }$ 我们有 $|x|<\kappa$, 因此由 $\kappa$ 正则我们知道 $\sup (\mathrm{ran}(R))<\kappa$, 不妨设左侧序数为 $\theta$, 则所求集是 $\{y\in V_{\theta }|\exists z\in x((z,y)\in F)\}$, 它显然属于 $V_{\theta +1}$, 从而属于 $V_{\kappa }$.

现在证明反过来的方向, 不妨证明更弱的定理: 如果 $V_{\kappa +1}$(视为自然的二阶集合论结构) 满足 $\mathsf{NBG}+\mathsf{AC}$, 则 $\kappa$ 不可数、正则、强极限. 不可数因为它满足无穷公理和幂集公理显然, 幂集公理还顺带指出 $\kappa$ 已为极限基数, 我们分别验证正则和强极限.

先证正则. 若不然, 假定共尾列 $F:\alpha \to \kappa$ 见证此事, 则由二阶替代公理模式, $\alpha \in V_{\kappa }$ 就说明 $F‘‘\alpha =\kappa \in V_{\kappa }$, 矛盾.

再证强极限. 若不然, 假定 $\lambda <\kappa \le 2^{\lambda }$, 则有从 $\lambda$ 的幂集到 $\kappa$ 的满射 $F\subseteq V_{\kappa +1}$, 同上运用二阶替代公理模式可得矛盾.

$\square$

注意, 此处使用 $\mathsf{NBG}+\mathsf{AC}$ 而非 $\mathsf{NBGC}$ 是因为后者要求的作为二阶常元的全局选择函数/全局良序可能不是含 $X$ 可定义的.

此外, 还有一个只运用一阶模型论语言的等价刻画.

定理 1.6. 任意序数 $\kappa$ 是不可达基数, 当且仅当任给 $R\subseteq V_{\kappa }$ 都存在 $\alpha \in \kappa$ 使得 $(V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha })$ 是 $(V_{\kappa },\in ,R)$ 的初等子模型. 此处 $R$ 视为扩展一个谓词符号进入集合论语言后的对应解释.

证明. 假定 $\kappa$ 不可达, 我们更强地证明这些 $\alpha$ 形成 $\kappa$ 的一个闭无界集. 闭性质显然是因为这些结构自然形成一条初等链, 而其余极限自然与诸位初等等价. 验证其无界无非是使用证明反射原理的经典手法, 即考察诸结构 $(V_{{\alpha }_0},\in ,R\cap V_{{\alpha }_0})$ 上的取值秩极小的 Skolem 函数的值域, 然后取诸值域上确界的上确界记为 ${\alpha }_1$; 重复 $\omega$ 次, 由 $\kappa$ 正则极限即得最终得到的 $\alpha ={\alpha }_{\omega }$ 仍属于 $\kappa$, 而它指标一个初等子模型则只需利用 Tarski–Vaught 判别法.

假定 $\kappa$ 满足后述要求, 我们依次证明它是不可数序数、正则基数、强极限基数.

假定 $\kappa$ 并非不可数序数, 即有满射 $F:\omega \to \kappa$. 首先, $\kappa$ 不能是 $\omega$, 因为 $(V_{\omega },\in )\models (Pow)$ 但任何自然数 $n\in \omega$ 均不使 $(V_n,\in )\models (Pow)$. 因为类似的原因, 可以假定大于 $\omega$ 的序数 $\alpha \in \kappa$ 让 $(V_{\alpha },\in ,F\cap V_{\alpha })\prec (V_{\kappa },\in ,F)$; 由于 $\omega \in \alpha$, 对每个 $n\in \omega \in \alpha$ 都应当有 $(n,F(n))\in F\cap V_{\alpha }$, 从而应当有 $F(n)\in V_{\alpha }$, 但这证明 $F‘‘\omega =\kappa \subseteq V_{\alpha }$, 换言之 $\kappa \le \alpha$, 这就矛盾了.

假定 $\kappa$ 并非正则基数, 即有满射 $F:\theta \to \kappa$. 证明细节全然同上.

假定 $\kappa$ 并非强极限基数, 即有满射 $F:P(\theta )\to \kappa$. 我们反射 $F\cup \{\theta \}$, 然后先读出 $V_{\alpha }\cap (F\cup \{\theta \}\})$ 中唯一的序数 $\theta$ 并顺带证明 $\theta \in \alpha$, 然后由 $\kappa$ 已被证明是极限序数得到 $\alpha$ 必须是极限序数, 从而 $P(\theta )\in V_{\alpha }$, 然后同样得到矛盾.

$\square$

对此要求的详细研究请参考词条不可描述基数.

2相容性

设 $I$ 是如下一阶语句:

$I=$“存在不可达基数”.

命题 2.1. 我们有$$⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC})\to \mathrm{Con}(\text{ZFC}+\neg I)$$(这等价于在 $\text{ZFC}$ 相容时有 $\text{ZFC}⊬I$), 以及$$⊬\mathrm{Con}(\text{ZFC})\to \mathrm{Con}(\text{ZFC}+I).$$换言之, 一方面 $\text{ZFC}$ 不能证明不可达基数的存在性; 另一方面, 无法说明 $I$ 与 $\text{ZFC}$ 相容.

证明. 先证第一条. 假设 $\text{ZFC}$ 相容, 那么由引理 1.4 知 $V_{\kappa }$ 也是 $\text{ZFC}$ 的一个模型. 且易证:

$V_{\kappa }\models$“$\lambda$ 是不可达基数”$⟺$ $\lambda$ 是不可达基数.

所以如果 $\text{ZFC}⊢I$, 则取出最小的不可达基数 $\kappa$, 那么 $V_{\kappa }$, 作为 $\text{ZFC}$ 的模型, 不包含一个不可达基数, 与 $\text{ZFC}⊢I$ 矛盾, 故 $\text{ZFC}⊬I$.

再证第二条. 假设 $\text{ZFC}$ 相容能够推出 $\text{ZFC}$ 与 $I$ 相容. 注意到 $\text{ZFC}+I⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC})$, 因为前者推出 $V_{\kappa }$ 是 $\text{ZFC}$ 的一个模型, 故说明 $\text{ZFC}$ 相容. 从而有$$\text{ZFC}+I⊢\mathrm{Con}(\text{ZFC}+I),$$与 Gödel 第二不完备性定理矛盾.

$\square$

此外, 借用可构造宇宙作为内模型, 我们可以证明弱不可达基数并未消减相容性强度.

定理 2.2. $\mathsf{ZFC}+$“存在不可达基数” 相容, 当且仅当 $\mathsf{ZFC}+$“存在弱不可达基数” 相容.

证明. 只需证明不可达基数在 $\mathbf{L}$ 中仍不可达, 这是因为 $\mathbf{L}\subseteq \mathbf{V}$, 从而不会加入对不可数、正则和强极限性质的反例. 于是二理论均与其加入公理 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 的版本等相容性, 但加入 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 的后果即为 $\mathsf{GCH}$ 成立, 于是弱不可达就是不可达.

$\square$

3宇宙公理

参见: Grothendieck 宇宙

术语翻译

不可达基数 • 英文 inaccessible cardinal • 德文 unerreichbare Kardinalzahl • 法文 cardinal inaccessible • 拉丁文 cardinalis inaccessibilis