幂集

集合 $X$ 的幂集 $\mathcal{P}(X)$, 也记为 $2^X$, 是其所有子集构成的集合. 例如,$$\mathcal{P}(\{1,2\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.$$

对集合 $X,Y$ 而言, 有时也称集合 $Y^X$, 即从 $X$ 到 $Y$ 的所有映射的集合, 为幂集. 这是上述概念的推广. 这也是集合范畴中的幂对象.

1定义

定义 1.1 (幂集). 集合 $X$ 的幂集 $\mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的所有子集构成的集合, 即$$\mathcal{P}(X)=\{S\mid S\subseteq X\}.$$

定义 1.2. 对集合 $X,Y$ 而言, 记$$Y^X=\{f:X\to Y\}$$为 $X$ 到 $Y$ 的所有映射的集合. 有时, 也称 $Y^X$ 为 $X$ 对 $Y$ 的幂集.

定义 1.1 可以视为定义 1.2 的特例. 考虑集合 $2=\{0,1\}$, 则幂集 $\mathcal{P}(X)$ 能够与 $2^X$ 等同起来. 例如, 可以将映射 $f:X\to 2$ 对应于子集 $f^{-1}(1)\subseteq X$. 因此, 也常常直接将 $\mathcal{P}(X)$ 记为 $2^X$.

2性质

Cantor 定理

主条目: Cantor 定理

定理 2.1 (Cantor 定理). 设 $X$ 为集合. 则幂集 $\mathcal{P}(X)$ 的势严格大于 $X$ 的势: $$|\mathcal{P}(X)|>|X|.$$

3相关概念

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幂对象

术语翻译

幂集 • 英文 power set