超滤

超滤是指极大滤子, 即一个滤子 使包含 的真滤子只有 本身. 超滤也可看成二值有限可加测度, 在超滤里的子集测度为 , 其余集合测度为 . 给定拓扑空间上的超滤构成一拓扑空间, 称为该空间的 Stone–Čech 紧化. 超滤在 Ramsey 理论中亦是一强力工具.

1定义

定义 1.1. 集合 上的超滤是指其上的一个真滤子 , 使包含 的真滤子只有 本身. 展开滤子的定义, 这就是说 的子集族, 满足

, 则 ;

, , 则 ;

;

且如子集族 也满足以上条件, 则 .

以下引理给出超滤的一个等价定义.

引理 1.2. 集合 上的滤子 是超滤当且仅当对于任何子集 , 中恰一个属于 .

证明. 是超滤, 那么对 , 不能有 都在 中, 否则它们的交集 也在 中, 这与 是真滤子矛盾. 下面假设 都不在 中. 那么考虑由 生成的滤子容易验证 是滤子, 且 . 如果 , 则存在 使 , 于是 , 这与 矛盾. 所以 是严格包含 的真滤子, 这与假设矛盾. 于是 中恰一个属于 .

现在假设 是真滤子, 满足对任意子集 , 中恰一个属于 , 则若真滤子 的加细, , 设 , 于是由假设 , . 这与 是真滤子矛盾. 于是 是超滤.

推论 1.3. 集合 上的超滤 给出二值有限可加测度 , 其中 当且仅当 .

2例子

例 2.1 (主超滤)., 包含 的全体子集构成一超滤, 称为 处的主超滤, 记作 .

不用选择公理, 这些就是我们能构造的所有超滤. 以下用选择公理证明每个真滤子都有超滤包含之, 从而构造非主超滤.

定理 2.2 (超滤定理). 是集合 上的真滤子. 则存在 上超滤 .

证明. 对集合的包含偏序用 Zorn 引理, 取出极大元, 此即所求的 .

推论 2.3. 若集合 无限, 则其上有非主超滤.

证明. 对余有限滤子用超滤定理, 取超滤 . 如 使得 处主超滤, 则 , , 故二者之交 矛盾! 故 不是主超滤.

3在 Ramsey 理论中的应用

定义 3.1. 对集合 上超滤 , 记 表示 .

这样定义的全称量词满足作为代价, 它会失去交换律: 并不等价.

定理 3.2 (Ramsey 定理). 对无穷多个顶点上的 的边 -染色, 一定有无穷大的同色完全子图.

证明. 选取 的顶点集上的非主超滤 . 考虑 个逻辑命题由上面的逻辑法则, 中恰一个为真 (这里用到 非主). 设 是真的. 归纳地找一列顶点 使它们之间边均为第 中颜色. 假设 已经找到. 找 满足每个约束均被一个 中集合的每个元素满足, 所以总是存在一个 同时满足它们 (由 对交封闭).

术语翻译

超滤英文 ultrafilter