选择公理

选择公理是集合论中的一条公理, 其内容是说, 给定任意一族非空集合, 能同时从每个集合中选出一个元素.

选择公理是 ZFC 集合论的一部分, 但独立于 ZF 集合论, 也就是说只要后者相容, 选择公理就既不能被其证明, 也不能被其证否.

选择公理的两个最主要的推论是良序定理和 Zorn 引理, 选择公理常常以这两个结论的形式被使用.

1叙述

定义 1.1 (选择函数). 设 $X$ 是集合. $X$ 上的选择函数是一映射 $f : X \to \cup X,$ 其中 $\cup X$ 是 $X$ 的所有元素之并, 使得对任意 $x \in X$ , 有 $f (x) \in x .$

定义 1.2 (选择公理). 选择公理是指下面的命题:

•	设 $X$ 是集合. 假设 $X$ 的所有元素都非空, 即 $\forall x \in X, \exists y \in x .$ 那么 $X$ 上存在选择函数. 形式地写就是 $\forall x (\emptyset \in / x \to \exists f ((f : x \to \cup x) \land \forall y (y \in x \to f (y) \in y))) .$

注 1.3. 用数学归纳法, 可以证明如果定义 1.2 中的 $X$ 是有限集, 那么 $X$ 上一定有选择函数. 因此, 选择公理不平凡的部分在于 $X$ 是无限集的情况.

定义 1.4 (全局选择公理). 全局选择公理更强一些, 要求存在一个函数, 定义域为全体非空集合的类, 在每个非空集合上的值是其一个元素. 由于 ZF 集合论的语言不能量化类, 故它并不能写成一条公理. 我们有两种方法陈述之:

•	往集合论语言中添加一个一元函数符号 $τ$ , 然后提出公理 $\forall x (x \neq = \emptyset \to τ (x) \in x) .$
•	将其认为是元命题, 即存在语句 $T (x, y)$ , 只有两个自由变元, 满足 $T$ 是个函数, 且把每个集合映射到其一个元素. 形式地写即 $(\forall x \forall y \forall z ((T (x, y) \land T (x, z)) \to y = z)) \land \forall x (x \neq = \emptyset \to \exists y (T (x, y) \land y \in x)) .$

相容性由 Gödel 用其可构造宇宙证明, 见该条目. 在可构造宇宙中甚至有全局良序, 从而可以写出具体的全局选择语句, 如定义 1.4 的第二种陈述所言.

•	逻辑截断类型中给出了选择公理的类型论形式, 见选择公理 (类型论).

术语翻译

选择公理 • 英文 axiom of choice • 德文 Auswahlaxiom (n) • 法文 axiome du choix (m) • 拉丁文 axioma de electione (n) • 古希腊文 ἀξίωμα ἐπιλογῆς (n)