强连续统假设

强连续统假设, 又称广义连续统假设、推广的连续统假设, 常简写为 GCH, 是连续统假设的推广. 它指如下命题:

•	对任意序数 $\alpha$, $2^{{\aleph }_{\alpha }}={\aleph }_{\alpha +1}$.

该命题能确定基数运算的很多结果, 但与连续统假设一样, 它独立于 ZFC. 其相容性由 Kurt Gödel 于 1940 年用其可构造宇宙证明, 其否定的相容性由 Paul Cohen 于 1963 年用其力迫法证明.

1相容性

定理 1.1 (Gödel). $$\text{ZF}+\text{V=L}⊢\text{GCH}.$$从而强连续统假设与 ZFC 相容.

$\text{ZF}+\text{V=L}⊢\text{AC}$ 已在 Gödel 可构造宇宙条目中证明. 那里还说对无穷序数 $\alpha$, $|L_{\alpha }|=|\alpha |$. 以 ${\alpha }^{+}$ 记大于 $\alpha$ 的最小基数, 则只需证在 $\text{ZFC}+\text{V=L}$ 下有:

命题 1.2. 对无穷基数 $\alpha$, $\mathcal{P}(L_{\alpha })\subseteq L_{{\alpha }^{+}}$.

证明. 先做一些准备. 取 $\text{ZF}-\text{P}$ 中有限条公理之合取 $\varphi$, 使得对 $\varphi$ 的传递模型 $M$, 可构造宇宙是绝对的. 这可以做到, 因为整个过程中, 涉及无穷条公理处只有在定义可构造宇宙时用分出公理模式, 而那实际上只需在指定的有限族集合上使用, 即只用到分出公理模式中的有限条. 再取有限条公理之合取, 使其可以证明没有最大的序数, 将其与 $\varphi$ 的合取记作 $\psi$, 则对 $\psi$ 的传递模型 $M$, $M\cap \text{Ord}$ 是极限序数, $L_{M\cap \text{Ord}}={\bigcup }_{\alpha \in M\cap \text{Ord}}{L}_{\alpha }$. 最后令 $\chi$ 为 $\psi \wedge \text{V=L}$, 则对 $\chi$ 的传递模型 $M$, 有 $M={\bigcup }_{\alpha \in M\cap \text{Ord}}{L}_{\alpha }=L_{M\cap \text{Ord}}$. 依定义, $\chi$ 是 $\text{ZF}-\text{P}+\text{V=L}$ 中有限条公理的合取.

现考虑 $L_{\alpha }$ 任一子集 $A$. 由反映原理及 Lowenheim–Skolem, 存在集合 $N$, 包含 $L_{\alpha }\cup \{A\}$, 势为 $|\alpha |$, 满足 $(N,\in )\models \chi$. 把 $N$ 作 Mostowski 坍塌, 得集合 $M$, 则 $(M,\in )\cong (N,\in )$, 故 $|M|=\alpha$ 且 $(M,\in )\models \chi$. 首先由 $L_{\alpha }$ 传递, $A\subseteq L_{\alpha }$, 知 $L_{\alpha }\cup \{A\}\subseteq M$; 其次 $M$ 传递, 故由上一段有 $M=L_{M\cap \text{Ord}}$; 最后 $|M\cap \text{Ord}|\le |M|<{\alpha }^{+}$, 得 $A\in M=L_{M\cap \text{Ord}}\subseteq L_{{\alpha }^{+}}$. 这对任一 $A$ 成立, 所以 $\mathcal{P}(L_{\alpha })\subseteq L_{{\alpha }^{+}}$.

$\square$

2否定的相容性

由于连续统假设之否定已经与 ZFC 相对相容, 故强连续统假设之否定自然也就相容.

3推论

命题 3.1. 强连续统假设推出选择公理.

4相关概念

•	可构造宇宙
•	力迫法
•	选择公理

术语翻译

强连续统假设 • 英文 generalized continuum hypothesis • 德文 verallgemeinerte Kontinuumshypothese • 法文 hypothèse generalisée de continu • 拉丁文 hypothesis generalizata de continuo • 古希腊文 γενικευμένη ὑπόθεσις συνέχους