菱形原理

菱形原理, 常记为 $◊$, 是集合论中的一个命题. 它独立于 ZFC, 在可构造宇宙中成立, 且蕴涵连续统假设.

菱形原理可以用来证明某些命题在可构造宇宙中成立, 从而与 ZFC 相容. 这样的命题包括 Suslin 树的存在性, 以及对 Whitehead 问题的肯定回答 (任意 Whitehead 群都是自由的). 实际上, 上述二者均独立于 ZFC, 也就是说, 这两个命题的否定也与 ZFC 相容.

1陈述

定义 1.1 (菱形原理). 菱形原理是指以下命题:

$(◊)$

存在一列集合 $⟨A_{\alpha }\subseteq \alpha {⟩}_{\alpha \in {\omega }_1}$, 使得对任意 $A\subseteq {\omega }_1$, 集合 $\{\alpha \in {\omega }_1\mid A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ 在 ${\omega }_1$ 中平稳.

更一般地, 对任意基数 $\kappa$ 及平稳集 $S\subseteq \kappa$, 菱形原理 ${◊}_S$ 是指以下命题:

$({◊}_S)$

存在一列集合 $⟨A_{\alpha }\subseteq \alpha {⟩}_{\alpha \in S}$, 使得对任意 $A\subseteq \kappa$, 集合 $\{\alpha \in S\mid A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ 在 $\kappa$ 中平稳.

特别地, $◊$ 等价于 ${◊}_{{\omega }_1}$.

2性质

独立性

等价表述

3推论

术语翻译

菱形原理 • 英文 diamond principle • 德文 Karo-Prinzip (n) • 法文 principe du losange (m)