良序集

良序集是一全序集, 满足对任意一个非空子集, 在序关系下都有最小元. 其上的序关系也称为良序关系或良序.

集合 $S$ 上的一个良序关系 $\prec$ 可以认为是将 $S$ 对应于某个序数 $\alpha$, 并将集合的元素和关系对应于小于 $\alpha$ 的所有元素及序数间的 $<$ 关系. 特别地, 可以在 $S$ 上对于 $\prec$ 关系用归纳法.(更一般的良基关系也可使用归纳法)

良序定理说明了任何一个集合上都可以配备一个良序, 这个定理由选择公理导出, 并且在排中律之下与之等价.

1定义

定义 1.1. 良序关系指集合 $S$ 上传递、外延、良基的二元关系 $\prec$.

在接受排中律的情况下, 有如下更常见的等价定义, 但上述的定义在构造数学中是最有用的:

定义 1.2.

•	良序是良基的线性序/全序;
•	(在相依选择公理之下) 良序 $\prec$ 是一个不存在无穷降链 $\cdots \prec a_2\prec a_1\prec a_0$ 的线性序;
•	(在相依选择公理之下) 良序 $\prec$ 是满足对于任何一个无穷不增链 $\cdots ⪯a_2⪯a_1⪯a_0$, 都一定存在某个 $a_i=a_{i^{+}}$ (也可以改为存在无穷多个);
•	良序是一个满足任何一个非空子集都有最小元的线性序/全序.

2例子

•	任何有限的全序集 $\left\{x_1<x_2<\dots <x_n\right\}$ 是良序集;
•	自然数集在一般的序关系下是良序集;
•	序数组成的集合 (甚至是所有序数构成的真类) 是良序的;
•	所有良序化的集合的基数是良序的, 因为它们构成了序数的一个收缩, 根据良序定理, 所有基数构成的类是良序的.
•	根据良序定理,实数上也存在良序, 这一良序在分析中许多用到选择公理的地方有所应用.

3作为序数的解释

任何一个良序集 $S$ 定义一个序数 $\alpha$ 和一个在 $S$ 的元素与所有小于 $\alpha$ 的序数之间的序同构. 这一同构的给出方式在于将 $S$ 的最小元 $\perp$ 对应 0, 自然地, 将 $S\backslash \left\{\perp \right\}$ 对应 1,

于是可以通过递归得到 $S$ 到序数真类的一个映射:$$r(x)=\underset{t<x}{\sup }r(t{)}^{+};$$这一递归赋值是可行的, 原因是 $\prec$ 具有良基性. 这里 ${\beta }^{+}$ 表示序数 $\beta$ 的后继. 而 $\sup$ 则是对序数取上确界的操作, 在 von Neumann 序数中就是对于序数取并.

因为 $S$ 是集合, 所以这个函数的像同样也是集合 (根据替换公理), 很容易证明 $r$ 是 $S$ 与 $(\mathrm{Im}r{)}^{+}$ 之间的序同构.

4相关概念

•	良序定理
•	序数
•	良基关系
•	良拟序

术语翻译

良序集 • 英文 well-ordered set, woset • 德文 wohlgeordnete Menge • 法文 ensemble bien ordonné • 拉丁文 copia bene ordinata • 古希腊文 εὖ διατεταγμένον σύνολον

良序 • 英文 well-order • 德文 Wohlordnung • 法文 bon ordre • 拉丁文 ordo bonus • 古希腊文 ἀγαθὴ διάταξις