势

关于其它含义, 请参见 “势 (多义词)”.

势是集合的元素个数. 例如, 若一有限集含 $n$ 个元素, 则其势为 $n$. 而不同的无穷集合之间也可比较大小, 故引入势的概念, 将集合的元素个数用一个基数描述, 以刻画不同大小的无穷大.

集合 $X$ 的势通常记为 $|X|$ 或 $\#X$ 或 $\mathrm{card}X$.

1定义

定义 1.1 (势). 设 $X$ 是集合. $X$ 的势是指最小的序数 $\alpha$, 使得 $X$ 与 $\alpha$ 之间存在双射. 这里, $\alpha$ 的存在性由良序定理 (依赖于选择公理) 得到. $X$ 的势通常记作$$|X|或\#X或\mathrm{card}X$$

这样由基数的定义, 集合 $X$ 的势即是一个基数, 且是唯一的能与它建立双射的基数.

2性质

作为合理的 “元素个数” 概念, 势应当满足, 也确实满足以下符合直观的性质.

命题 2.1. 设 $X,Y$ 是集合.

•	若存在双射 $f:X\to Y$, 则 $|X|=|Y|$.
•	若存在单射 $f:X\to Y$, 则 $|X|\le |Y|$.
•	若存在满射 $f:X\to Y$, 则 $|Y|\le |X|$.

3例子

•	有限集的势为自然数. 这是其元素个数的严格定义, 事实上也是所有计数的严格定义.
•	势等于 $|\mathbb{N}|$ 的集合称为可数集; 势大于 $|\mathbb{N}|$ 的集合称为不可数集.

4相关概念

•	基数
•	序数
•	Cantor–Schröder–Bernstein 定理

术语翻译

势 • 英文 cardinality • 德文 Mächtigkeit (f), Kardinalität (f) • 法文 cardinalité (f) • 拉丁文 cardinalitas (f)