集合范畴

集合范畴

$\mathsf{Set}$

集合范畴是所有集合和它们之间的映射构成的范畴, 通常记为 $\mathsf{Set}$.

1定义

定义 1.1 (集合范畴). 集合范畴 $\mathsf{Set}$ 是由以下信息给出的范畴:

•	对象: 所有集合.
•	态射: 集合之间的映射.

2性质

极限与余极限

•	$\mathsf{Set}$ 的始对象是空集, 终对象是单点集.

•	$\mathsf{Set}$ 中的积是 Descartes 积, 余积是集合的无交并.

•

$\mathsf{Set}$ 具有所有极限, 可以描述如下: 对任何小范畴 $\mathcal{K}$ 和任何函子 $F:\mathcal{K}\to \mathsf{Set}$, 其极限为$$\lim F\simeq \{(x_i)\in \prod _{i\in \mathcal{K}}F(i)|\forall (i\stackrel{f}{\to }j)\in \mathcal{K},x_i\stackrel{F(f)}{⟼}{x}_j\}.$$由此可见极限是可表函子: $$\lim F\simeq {\mathsf{Set}}^{\mathcal{K}}(\Delta (\ast ),F),$$其中 ${\mathsf{Set}}^{\mathcal{K}}$ 是函子范畴, $\Delta (\ast )$ 表示取值为单点集 $\ast$ 的常函子.

•	$\mathsf{Set}$ 具有所有余极限, 可以描述如下: 对任何小范畴 $\mathcal{K}$ 和任何函子 $F:\mathcal{K}\to \mathsf{Set}$, 其余极限为$$\mathrm{colim}F\simeq \coprod _{i\in \mathcal{K}}F(i)/\left\{\begin{array}{c}F(i)\ni x\sim y\in F(j)\\ \forall (i\stackrel{f}{\to }j)\in \mathcal{K},x\stackrel{F(f)}{⟼}y\end{array}\right\}.$$

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术语翻译

集合范畴 • 英文 category of sets • 德文 Kategorie der Mengen • 法文 catégorie des ensembles • 拉丁文 categoria copiarum • 古希腊文 κατηγορία συνόλων