可表函子

在范畴论中, 可表函子是一类重要的函子, 指形如$$h_x=\mathcal{C}(-,x):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Set}$$的函子, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $x\in \mathcal{C}$ 是对象, $\mathsf{Set}$ 是集合范畴.

在广义对象的观点下, 我们将 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 的函子视为 $\mathcal{C}$ 中的广义对象, 此时, 将对象 $x$ 视作广义对象, 就是可表函子 $h_x$. 这就是 Yoneda 嵌入. 由于 Yoneda 引理, 不同的对象 $x$ 对应的可表函子 $h_x$ 互不同构, 因此, 我们确实可以将 $h_x$ 视为 $x$ 的替身.

1定义

对普通范畴

定义 1.1 (可表函子). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴.

•	称函子 $F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 为可表函子, 如果存在对象 $x\in \mathcal{C}$, 使得有自然同构$$F\simeq h_x=\mathcal{C}(-,x).$$此时称 $F$ 由对象 $x$ 表出.

•	称函子 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 为余可表函子, 如果存在对象 $x\in \mathcal{C}$, 使得有自然同构$$F\simeq h^x=\mathcal{C}(x,-).$$此时称 $F$ 由对象 $x$ 余表出.

等价地说, $\mathcal{C}$ 上的余可表函子就是 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 上的可表函子. 但在文献中, 常常并不区分可表与余可表函子, 并将二者都称为可表函子.

2例子

•	对域 $k$ 上的向量空间而言, 将空间映到其对偶空间的反变函子是可表函子, 由 $k$ 表出.

•	遗忘函子常常是余可表函子. 例如: ∘ 拓扑空间的遗忘函子 $\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 由单点空间 $\ast$ 余表出. ∘ 群的遗忘函子 $\mathsf{Grp}\to \mathsf{Set}$ 由自由群 $\mathbb{Z}$ 余表出. ∘ 环的遗忘函子 $\mathsf{Ring}\to \mathsf{Set}$ 由多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 余表出.

•	Brown 可表性定理说明, 拓扑空间的普通上同调 $H^n(-;R)$ 是可表函子, 由 Eilenberg–Mac Lane 空间 $K(R,n)$ 表出.

术语翻译

可表函子 • 英文 representable functor • 德文 darstellbarer Funktor (m) • 法文 foncteur représentable (m) • 日文 表現可能関手 (ひょうげんかのうかんしゅ)