群胚

在范畴论中, 群胚是指所有态射都可逆的范畴.

在群胚中, 可以将对象按同构类分离开来, 因为所有态射都是同构, 从而不同的同构类之间没有态射. 另一方面, 我们常将同构的对象视为相同的对象. 如此看来, 整个群胚就像是由一些离散的点构成, 但每个点带有一个自同构群, 即该同构类中任一对象的自同构群.

例如, 固定域 $k$, 考虑有限维 $k$-向量空间及其间线性同构构成的范畴, 这一范畴是群胚. 该群胚中, 对每个自然数 $n$, 有一个由 $n$ 维向量空间构成的同构类, 其中对象的自同构群为一般线性群 $\mathrm{GL}(n;k)$.

群可以看成是只有一个对象的群胚. 换言之, 群胚是群的胚化.

在高阶范畴论中, 群胚也称为 $1$-群胚或 $(1,0)$-范畴, 也是 $1$-截断的 $\infty$-群胚. 由于 $\infty$-群胚可视为空间, 群胚也可以视为 $1$-截断的空间.

1定义

定义 1.1 (群胚). 称范畴 $\mathcal{C}$ 为群胚, 若其中所有态射都可逆, 即都是同构.

2例子

•	任何集合都能看成 “离散” 的群胚: 其对象为集合的元素, 而态射只有恒同态射.

•	设 $G$ 是群. 则有群胚 $[\ast /G]$, 它只有一个对象, 其态射对应于 $G$ 的元素, 而态射复合是 $G$ 中乘法. 不难看出, 只有一个对象的群胚和群是等价的概念.

•	每个拓扑空间 $X$ 有一个基本群胚 ${\Pi }_1(X)$. 该群胚中, 对象的同构类对应于 $X$ 的道路连通分支, 而该群胚中的自同构群对应于 $X$ 各分支的基本群.

3性质

将范畴变成群胚

对范畴 $\mathcal{C}$ 而言, 有两种自然的方式将它变为群胚:

定义 3.1 (对象群胚). 范畴 $\mathcal{C}$ 的对象群胚, 是如下定义的群胚 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$:

•	对象: 与 $\mathcal{C}$ 中相同.
•	态射: $\mathcal{C}$ 中所有可逆态射.

定义 3.2 (群胚化). 范畴 $\mathcal{C}$ 的群胚化是将 $\mathcal{C}$ 中所有态射都变得可逆得到的群胚. 准确地说, 也就是 $\mathcal{C}$ 关于所有态射的局部化.

群胚化是群化这一操作的胚化.

这样, 在群胚范畴 $\mathsf{Grpd}$ 和范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 之间, 有伴随 $2$-函子$$(\text{群胚化}⊣\text{含入}⊣\text{对象群胚}):\mathsf{Cat}\underset{⟶}{\stackrel{⟶}{⟵}}\mathsf{Grpd}.$$

群胚的操作

•	群胚的积、余积、纤维积、粘连和分别由积范畴、无交并范畴、纤维积范畴、粘连范畴给出.

4相关概念

•

群胚范畴

术语翻译

群胚 • 英文 groupoid • 德文 Gruppoid (n) • 法文 groupoïde (m) • 拉丁文 catervoides (n) • 古希腊文 ὁμαδοειδές (n) • 日文 亜群