基本群胚

在代数拓扑中, 拓扑空间 $X$ 的基本群胚, 记为 ${\Pi }_1(X)$, 是一个群胚. 该群胚的形状像 $X$, 但只保留了 $X$ 中的所有 “$1$ 维信息”, 而将其它信息扔掉. 也就是说, ${\Pi }_1(X)$ 储存了 $X$ 中所有点的基本群的信息, 但看不到高维的结构.

在高阶范畴论中, 空间与 $\infty$-群胚是等价的对象: 我们将空间 $X$ 等同于其基本 $\infty$-群胚 $\mathsf{\Pi }(X)$. 此时, 群胚 ${\Pi }_1(X)$ 恰是 $\infty$-群胚 $\mathsf{\Pi }(X)$ 的 $1$-截断.

1定义

定义 1.1 (基本群胚). 拓扑空间 $X$ 的基本群胚 ${\Pi }_1(X)$ 是如下定义的群胚:

•	对象: $X$ 中的所有点 $x\in X$.

•	态射: 若 $x,y\in X$, 则从 $x$ 到 $y$ 的态射就是从 $x$ 到 $y$ 的所有道路的同伦类.

由定义, 对 $x\in X$, 其在基本群胚中的自同构群 ${\Pi }_1(X)(x,x)$ 就是基本群 ${\pi }_1(X,x)$.

2相关概念

术语翻译

基本群胚 • 英文 fundamental groupoid • 德文 Fundamentalgruppoid (n) • 法文 groupoïde fondamental (m)