同伦群

带点拓扑空间 $(X,x)$ 的同伦群 ${\pi }_n(X,x)$ 是一系列的群, 它们是 $X$ 的同伦不变量, 是基本群的推广: 基本群是 $S^1\to X$ 的映射同伦类构成的群, 同伦群则是 $S^n\to X$ 的映射同伦类构成的群.

拓扑空间的第 $0$ 个同伦群 ${\pi }_0(X,x)$ 并不具有群结构, 只是一个带点集合, 也就是 $X$ 的所有道路连通分支的集合. 第 $1$ 个同伦群 ${\pi }_1(X,x)$ 就是基本群. 当 $n\ge 2$ 时, 同伦群 ${\pi }_n(X,x)$ 一定是 Abel 群.

1定义

同伦群

定义 1.1 (带点拓扑空间). 带点拓扑空间是指二元组 $(X,x)$, 其中

•	$X$ 是拓扑空间.
•	$x\in X$ 是一个元素, 称为基点.

带点拓扑空间之间的映射要求把基点映到基点.

定义 1.2 (同伦群). 设 $(X,x)$ 是带点拓扑空间 (定义 1.1). 它的第 $n$ 个同伦群 (作为集合) 定义为$${\pi }_n(X,x)=\{f:(S^n,\ast )\to (X,x)\}/\sim ,$$其中 $f$ 可以是任何保持基点的连续映射, $\ast \in S^n$ 是一个取定的点, $\sim$ 表示映射的保持基点的同伦.

下面, 对 $n\ge 1$, 我们定义 ${\pi }_n(X,x)$ 上的群结构.

定义 1.3 (同伦群的群结构). 设 $(X,x)$ 是带点拓扑空间 (定义 1.1). 设 $f,g\in {\pi }_n(X,x)$ (定义 1.2), 其中 $n\ge 1$. 则 $f,g$ 的乘积定义为$$f\cdot g:S^n\stackrel{q}{⟶}{S}^n\vee S^n\stackrel{f\vee g}{⟶}(X,x),$$其中 $\vee$ 表示单点并, 映射 $q$ 将 $S^n$ 的赤道映到 $S^n\vee S^n$ 的基点, 将上下半球分别保持定向、同胚地映到单点并中的两个部分 $S^n\setminus \{\ast \}$.

当 $n\ge 1$ 时, 这种乘法定义了 ${\pi }_n(X,x)$ 上的群结构.

注 1.4. 当 $n=0$ 时, 定义 1.3 中的映射 $q$ 无法定义, 因为 $S^0$ 的赤道是 $S^{-1}=\varnothing$.

相对同伦群

(...)

2例子

•	拓扑空间 $X$ 的第 $0$ 个同伦群 ${\pi }_0(X,x)$ 是 $X$ 的道路连通分支的集合.
•	由 Freudenthal 悬挂定理, 球面 $S^n$ 的第 $n$ 个同伦群是 ${\pi }_n(S^n)\simeq \mathbb{Z}$. 一般来说, 球面的同伦群十分难计算.

3性质

Puppe 序列

(...)

Whitehead 定理

(...)

同伦切除

(...)

Hurewicz 定理

(...)

环路空间与解环

(...)

4相关概念

•	稳定同伦群
•	弱同伦等价

术语翻译

同伦群 • 英文 homotopy group • 德文 Homotopiegruppe (f) • 法文 groupe d’homotopie (m) • 拉丁文 caterva homotopiae (f) • 古希腊文 ὁμὰς ὁμοτοπίας (f)