球面同伦群

在代数拓扑中, 球面同伦群也就是球面 $S^{n}$ 的同伦群 $π_{k} (S^{n})$ . 这些同伦群是十分基本的对象, 但计算起来非常困难.

下表展示了一部分球面同伦群. 其中灰色的部分较容易得出为 $0$ , 用线连起来的部分是 Freudenthal 纬悬定理给出的同构, 它们也给出了球面的稳定同伦群. 其余部分则杂乱无章, 难以计算.

1性质

命题 1.1. 对自然数 $m < n$ , 同伦群 $π_{m} (S^{n}) = 0$ .

S^{m} \to S^{n}

均同伦于光滑映射. 低维流形到高维流形的光滑映射必然不满 (例如由 Sard 定理), 任意光滑映射

S^{m} \to S^{n}

R^{n}

, 因此零伦. 由此任意映射

S^{m} \to S^{n}

零伦, 定理得证.

$□$

命题 1.2. 对正整数 $n$ , $π_{n} (S^{n}) = Z$ .

证明. 由 Hurewicz 定理,

π_{n} (S^{n}) = H_{n} (S^{n}) = Z

.

$□$

命题 1.3. 对正整数 $n \geq 2$ , $π_{n} (S^{1}) = 0$ .

证明. 注意到

R \to S^{1}

是万有覆叠,

R \to S^{1}

诱导了高于一阶的同伦群同构. 而

R

可缩, 因此结论成立.

$□$

术语翻译

球面同伦群 • 英文 homotopy groups of spheres • 法文 groupes d’homotopie des sphères